Страницы авторов "Тёмного леса"
Литературный Кисловодск и окрестности
Пишите нам! temnyjles@narod.ru
О струях (или о джетах) я впервые услышал на лекции В.И.Арнольда по теории особенностей, когда учился на I или II курсе. Обсуждалась локальная классификация гладких отображений Rn → Rm.
Назовем два гладких отображения гладкого многообразия в гладкое многообразие k-эквивалентными в точке x области определения, если в этой точке совпадают их значения и значения всех их частных производных (в каких-нибудь, а тогда и в любых координатах) порядка до k включительно. 0-эквивалентность означает в точности, что совпадают значения этих отображений в точке x; 1-эквивалентность - что совпадают и их дифференциалы; и т.д. k-джетом отображения в точке x называется класс k-эквивалентных в x отображений, к которому оно принадлежит. Множество k-джетов отображений M в N естественно наделяется структурой гладкого многообразия: координатами там будут координаты M, координаты N и формальные частные производные (до порядка k) координат в N по координатам в M. При замене координат в M и N эти координаты заменятся понятным в принципе образом, но формулы ужасающие, так что честно проверить корректность определения не очень просто. Мы пойдем другим путем. Сейчас только отмечу, что многообразие 0-джетов отображений M в N - это в точности произведение M×N; многообразие 1-джетов - это векторное расслоение над M×N - тензорное произведение касательного расслоения к N и кокасательного к M (канонически поднятых на M×N). Вообще, k-джеты естественно проектируются на k-1-джеты; но векторным расслоением эта проекция является только при k=1.
В дальнейшем я много имел дело с джетами, но не в связи с теорией особенностей, а в связи с дифференциальными уравнениями; изучал геометрию джетов в основном по А.М.Виноградову. Ведь понятно, что дифференциальное уравнение порядка k - это приравненная нулю функция на многообразии k-джетов. Такой подход позволяет рассуждать вполне строго, не апеллируя к координатам, чисто геометрически. Нужно еще отметить, что когда мы имеем дело с системой уравнений, т.е. с несколькими функциями от джетов, то на самом деле нам важен не сам набор этих функций, а порождаемый им идеал; а с геометрической точки зрения - подмногообразие многообразия джетов - множество точек, в которых обращаются в 0 все функции системы, а значит и все функции порожденного ею идеала.
В геометрии дифференциальных уравнений лучше иметь дело не с джетами отображений, а с чуть-чуть более общим объектом - джетами сечений. Новых определений давать не понадобится, потому что этот более общий случай сводится к рассмотренному выше частному. Пусть дано расслоение π: E → M - гладкое сюръективное отображение с сюръективным дифференциалом. Рассмотренный выше частный случай получится, если в качестве E взять произведение M×N с канонической проекцией на M. На самом деле в определении расслоения требуют еще, чтобы у любой точки M была окрестность, прообраз которой в E изоморфен ее произведению на некоторое N, но нам это не очень важно. Так вот, сечением расслоения E → M называется такое (гладкое) отображение M → E, что его композиция с проекцией E → M есть тождественное отображение 1M. Преимущества для геометрии дифференциальных уравнений рассмотрения джетов сечений, а не джетов отображений проявляются, когда мы обратим внимание на едва ли не самое главное в любой геометрической науке: каковы симметрии изучаемого объекта? В случае джетов сечений в качестве симметрий естественно подразумевать замены независимых переменных (= координат на M) и замены зависимых переменных (= координат на N), зависящие от независимых переменных как от параметра; в случае же джетов отображений M в N - только замены независимых переменных и замены зависимых переменных - безо всяких параметров. (На самом деле при изучении джетов становится понятным, что у них бывают симметрии и сверх вышеперечисленных.)
Назовем дифференциальной системой расслоение π: E → M вместе с полем C ⊆ T(E) касательных плоскостей к E трансверсальных слоям проекции π.
Назовем полуголономным продолжением этой дифференциальной системы дифференциальную систему E' → M с полем касательных плоскостей C', где E' - расслоение над E со слоем над произвольной точкой x ∈ E, состоящим из всех подплоскостей плоскости C(x), изоморфно проектирующихся на касательное пространство к M; C'(x') есть прообраз x' в T(E') (здесь x' - точка E', т.е. касательная плоскость к E).
Напомню, что любое поле плоскостей C на любом многообразии E порождает гомоморфизм μ: Λ2(C) → T(E)/C (чтобы получить произведение двух элементов C(x), нужно их продолжить произвольным образом до векторных полей, касающихся C, взять их коммутатор и привести его по модулю C - результат, как легко проверить, не будет зависеть от выбора продолжений).
Назовем голономным продолжением дифференциальной системы подмногообразие ее полуголономного продолжения, состоящее из плоскостей, на внешних квадратах которых тождественно обращается в 0 рассмотренный выше гомоморфизм μ; поле касательных плоскостей на голономном продолжении индуцируется полем C' касательных плоскостей на полуголономном продолжении.
Итерируя, получим k-ое полуголономное и k-ое голономное продолжение дифференциальной системы.
Если C = T(E), то продолжение такой (тривиальной) дифференциальной системы (в данном случае все равно голономное или полуголономное) называется расслоением 1-джетов сечений расслоения E. k-ое полуголономное и k-ое голономное продолжения тривиальной дифференциальной системы - это полуголономные и голономные k-джеты; голономные k-джеты - это и есть самые обычные общепринятые k-джеты. Каноническое поле плоскостей на расслоении джетов называется распределением Картана.
Для удобства тех, кто привык работать с джетами при помощи координат, приведу формулы, которые мне в дальнейшем не понадобятся. Если координаты на базе (xi), координаты на слое (uα), то координаты на k-джетах - (xi), (uα), (uαi), ..., (uαi1...ik), порядок индексов i1,...,ik существенен в случае полуголономных джетов и не существенен в случае голономных, т.е. расслоение голономных джетов выделяется в расслоении полуголономных уравнениями uαi1...il = uαiσ(1)...iσ(l) (со всевозможными σ ∈ S(l); l ≤ k). Распределение Картана C задается уравнениями duαi1...il = Σjuαi1...iljdxj (где 0 ≤ l ≤ k-1).
Обычно рассматривают дифференциальные системы, являющиеся подрасслоениями расслоения голономных k-джетов сечений какого-либо расслоения; причем поле C касательных плоскостей индуцировано каноническим полем плоскостей на расслоении джетов (в этом случае это поле плоскостей называется распределением Картана). На самом деле геометрия дифференциальных уравнений чуть-чуть упрощается, если не апеллировать к этому объемлющему расслоению джетов. Возможны и дифференциальные системы, не являющиеся подсистемами расслоений джетов, но вероятно они не представляют интереса.
Разумеется, дифференциальные системы с данной базой M образуют категорию (морфизмы - понятно какие; хотя возможны варианты).
Решением дифференциальной системы называется морфизм в нее тривиальной системы M → M (расслоение с одноточечными слоями, так что необходимо C=T(M)).
Любое решение дифференциальной системы канонически поднимается до решения ее полуголономного продолжения (если сечение f проходит через точку x ∈ E, т.е. f(π(x))=x, то соответствующее сечение f' продолжения переводит π(x) в касательную плоскость к графику f в точке x). Легко доказать, что на самом деле получившееся решение полуголономного продолжения является и решением голономного продолжения. Так что решения системы, ее полуголономного и голономного продолжений находятся в канонической биекции.
Дифференциальная система E, C называется формально разрешимой, если все канонические проекции ... → Ek → ... → E1 → E0 = E (где Ek - ее k-ое голономное продолжение) сюръективны. Дело в том, что точки проективного предела этой башни - это, как легко понять, формальные решения системы.
Если мы хотим иметь дело не с джетами сечений, а с джетами подмногообразий, то должны немного обобщить наши построения: требовать не сюръективность C → T(M), а только постоянство ранга. Я сейчас на этом останавливаться не буду.
Я пришел к этому подходу к джетам в 1982г., услышав от Д.В.Алексеевского о полуголономных реперах Васильева; Дмитрий Владимирович упомянул о них вскользь, и я даже не уверен, что правильно его понял, но попытался обобщить это на произвольные дифференциальные системы. Потом я наткнулся в какой-то англоязычной книжке о дифференциальных инвариантах на итерированные грассманы - от полуголономных джетов они отличаются тем, что содержат (кроме полуголономных джетов) массу лишнего.
Более плодотворным, чем рассматриваемый здесь, мне кажется алгебраический подход, т.е. рассмотрение вместо многообразий - колец функций на них. Джеты (точнее, конечно же, функции от джетов) при таком подходе возникают очень просто и естественно. Но сейчас не будем об этом.
Посмотрим повнимательнее на полуголономные продолжения (эти рассмотрения обобщают вещи хорошо известные в теории G-структур). Но сперва сделаем одно предположение относительно рассматриваемых дифференциальных систем (его вполне можно включить в определение, потому что для подсистем расслоений джетов (с распределением Картана) оно всегда выполнено. Обозначим через G пересечение C с касательным расслоением к слоям проекции E → M; назовем G символом дифференциальной системы. И потребуем, чтобы сужение на Λ2(G) описанного выше гомоморфизма μ: Λ2(C) → T(E)/C тождественно равнялось 0.
Рассмотрим произвольную точку x0 ∈ E. Выберем в C(x0) какое-нибудь дополнение x'0 к G(x0) (т.е. точку E'); очевидно, x'0 канонически изоморфно касательному пространству к M в π(x0). Тогда слой E' над x0 отождествится с T(M)(π(x0))*⊗G(x0) (потому что любое дополнение к G(x0) в C(x0) есть график линейного отображения x'0 в G(x0)); при изменении выбора x'0 это отождествление сдвинется на слагаемое из T(M)(π(x0))*⊗G(x0); т.е. слои проекции E' → E - аффинные пространства. Ниже я не буду упоминать явно точку x0, потому что она не будет меняться.
Разложение C=T(M)⊕G индуцирует разложение гомоморфизма μ на 3 компоненты, которые мы запишем в виде s ∈ Λ2(T(M)*)⊗T(E)/C, p ∈ T(M)*⊗G*⊗T(E)/C и элемент Λ2(G*)⊗T(E)/C тождественно равный 0 (мы учли, что все дополнения к G в C канонически изоморфны T(M)). Легко проверить, что p не зависит от выбора x'0; а s зависит линейно - это линейное неоднородное отображение слоя проекции E' → E в Λ2(T(M)*)⊗T(E)/C. Легко видеть, что s(x') = s(x'0 + p•x', где второе слагаемое есть сквозное отображение T(M)*⊗G → T(M)*⊗T(M)*⊗T(E)/C → Λ2(T(M)*)⊗T(E)/C (первая стрелка - свертка p с x' (как элементом T(M)*⊗G), вторая - антисимметризация по T(M)). Слой голономного продолжения по определению задается уравнением s(x')=0. Из элементарной линейной алгебры следует, что либо он пуст, либо является аффинным пространством изоморфным ядру линейной части s. Образ s: T(M)*⊗G → Λ2(T(M)*)⊗T(E)/C есть смежный класс по образу линейной части s, т.е. точка факторпространства; значит, отфакторизовав Λ2(T(M)*⊗T(E)/C по образу T(M)*⊗G, мы спускаем s с E' на E; результат этого спуска в теории G-структур называется структурной функцией (там это действительно векторнозначная функция, в нашей более общей ситуации это сечение векторного расслоения); структурная функция есть препятствие к существованию голономного продолжения: голономное продолжение существует только над теми точками E, в которых она обращается в 0.
Отображение μ: Λ2(C) → T(E)/C далеко не всегда сюръективно. Можно построить возрастающую последовательность полей плоскостей C = C0 ⊆ C1 ⊆ ... ⊆ Ck = T(E), где Ci+1 = [C,Ci] (здесь квадратные скобки означают коммутирование векторных полей); k по существу есть порядок дифференциальной системы. Для продолжения дифференциальной системы эта последовательность полей плоскостей окажется на 1 длиннее, все ее члены кроме самого нижнего - прообразы Ci.
Обозначим через G' символ полуголономного продолжения - пересечение C' (канонического поля плоскостей на полуголономном продолжении) с касательными пространствами к слоям проекции E' → M. Легко видеть, что G' = T(M)*⊗G; а символ k-го полуголономного продолжения есть тензорное произведение k-ой тензорной степени T(M)* и G. Чтобы понять, каковы символы голономных продолжений (если они не пусты), надо внимательнее исследовать p ∈ T(M)*⊗G*⊗T(E)/C.
Вообще, сечение тензорного произведения трех векторных расслоений p ∈ T(M)*⊗G*⊗T(E)/C во многом определяет геометрию дифференциальной системы. Тензорное произведение трех векторных пространств - гораздо более богатая вещь, чем тензорное произведение двух - прямоугольная матрица. Например, свернув элемент тензорного произведения T(M)*⊗G*⊗T(E)/C с каким-нибудь g ∈ G, получим прямоугольную матрицу, ранг которой можно назвать рангом g (т.е. мы получили полунепрерывную целочисленную функцию на G). Элемент g называется характеристическим для рассматриваемой дифференциальной системы, если его ранг равен 1; такому элементу, очевидно, соответствует подпространство T(M) коразмерности 1.
В качестве простейшего примера можно рассмотреть уравнение Лапласа и волновое уравнение uxx = +-uyy. В этом случае T(M), G и образ Λ2(C) в T(E)/C 2-мерны: G порождается d/duxx и d/duxy, дополнение к G в C порождается ξ=d/dx+uxd/du+uxxd/dux+uxyd/duy и η=d/dy+uyd/du+uxyd/dux+-uxxd/duy (к которым можно добавить любые элементы G - ведь это дополнение определено неоднозначно); их коммутаторы таковы: [d/duxx,ξ] = d/dux, [d/duxx,η] = +-d/duy, [d/duxy,ξ] = d/duy, [d/duxy,η] = d/dux. В случае Лапласа при любом g ∈ G получаем инъективное отображение T(M) в T(E)/C, а в случае волнового уравнения ранг этого отображения для двух g падает до 1.
Пусть E' - полуголономное продолжение нашей дифференциальной системы, μ': Λ2(C') → T(E')/C' - гомоморфизм аналогичный μ. Образ μ' содержится в C поднятом с E на E' и отфакторизованном по C', т.е. в C/T(M)=G. Разложив C' в прямую сумму T(M) и G'=T(M)*⊗G, как мы это делали выше с C, получим s' ∈ Λ2(T(M)*)⊗G и p' ∈ T(M)*⊗G'*⊗G.
Предположим, что наша система формально разрешима, т.е. все голономные продолжения не пусты над всеми точками. Обозначим через Gk символ k-го голономного продолжения (k > 0); Gk есть касательное расслоение к слоям проекции k-го голономного продолжения на k-1-ое; а через G-1 обозначим T(E)/C; через G0 обозначим G, через V обозначим T(M). Из предыдущего абзаца следует, что Gk есть ядро гомоморфизма φk: V*⊗Gk-1 → Λ2(V*)⊗Gk-2; или, дуализируя, Gk* есть коядро гомоморфизма φk*: Λ2(V)⊗Gk-2* → V⊗Gk-1*. Отсюда следует, что ⊕Gk* есть градуированный модуль над градуированным кольцом S(V). Этот модуль порождается своей младшей компонентой G-1*, а соотношения - в точности ортогональное дополнение к G0 ⊆ V*⊗G-1. Замечательно, что, очевидно, все Gk определены уже над E (а не только над Ek). И отметим, что модуль вполне определяется элементом "кубической матрицы" p ∈ V*⊗G0*⊗G-1.
Очевидно, φ* есть одна из стрелок тензорного произведения модуля ⊕Gk* на S(V)⊗Λ(V) - кошулевскую резольвенту градуированного S(V)-модуля K, у которого 0-ая компонента 1-мерна, а остальные - нули (комплекс двойственный комплексу деРама). Гомологии получающегося комплекса это Tor(⊕Gk*,K, они называются гомологиями Спенсера, а гомологии двойственного комплекса - когомологиями Спенсера. Так что структурная функция есть элемент 2-ой группы когомологий Спенсера.
Многие свойства дифференциального уравнения определяются соответствующими свойствами его линеаризации; но желательно рассматривать линеаризацию вдоль всех его решений; линеаризация вдоль всех формальных решений называется универсальной линеаризацией. Это значит: надо подняться на бесконечное голономное продолжение E∞ дифференциальной системы (т.е. проективный предел голономных продолжений Ek) и рассмотреть систему линейных уравнений, наложенных на сечения его вертикального касательного расслоения (неизвестные функции исходной системы и их формальные частные производные здесь выступают как параметры). Однако, если нас интересует вопрос о формальной разрешимости, то этот путь закрыт: ведь E∞ может оказаться пустым. К счастью, ассоциированный с вертикальным кокасательным расслоением к E∞ - это как раз наш модуль ⊕Gk*, а он определен уже над E0; но ведь не всегда так везет. А вот над бесконечным полуголономным продолжением универсальная линеаризация всегда к нашим услугам.
На бесконечном голономном продолжении и на бесконечном полуголономном продолжении есть формальная связность: проективный предел картановских плоскостей изоморфно проектируется на T(M). При этом в случае голономного продолжения кривизна этой формальной связности равна 0, а в случае полуголономного - нет, так что можно рассматривать алгебру Ли голономий и т.п.
Еще раз повторю, что язык дифференциальной алгебры кажется мне во многом эффективнее языка геометрии джетов. Обязательно постараюсь написать о ней текст параллельный этому. Но если не представлять, какие геометрические объекты стоят за алгебраическими конструкциями, то эти конструкции выглядят довольно схоластически. И вообще, на поезде можно уехать дальше, но идя пешком можно увидеть что-то недоступное пассажирам.
Последнее изменение страницы 28 Nov 2022