Илья Миклашевский

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ АЛГЕБРА

0. Предисловие

В 1978г. я поступил в аспирантуру и решил заниматься дифференциальной алгеброй. Для начала я стал читать обзор Ю.И.Манина "Алгебраические аспекты теории дифференциальных операторов" (опубликованный в сборнике "Современные проблемы математики", издаваемом ВИНИТИ). Первый параграф там назывался "Три языка" - Юрий Иванович кратко сопоставил наивный язык математического анализа, язык геометрии джетов и язык дифференциальной алгебры. Он отметил, что недостатком последнего (по сравнению с геометрией джетов) является его локальный характер: поскольку дифференциальная алгебра имеет дело с коммутативными кольцами, в которых зафиксировано несколько коммутирующих дифференцирований, геометрически это означает, что мы работаем с одной фиксированной картой. Я подумал: нельзя ли объединить достоинства двух этих языков, освободив дифференциальную алгебру от ее локальности, построить алгебраический аналог расслоений джетов? Ответ оказался очень простым и красивым.

Пусть K - коммутативное кольцо, D - множество его дифференцирований в себя; рассмотрим категорию коммутативных K-алгебр, на которые продолжено действие D (т.е. объект этой категории - K-алгебра A вместе с отображением D в множество дифференцирований A в себя, сохраняющим как структуру алгебры Ли на D, так и структуру K-модуля); будем называть эту категорию категорией K[D]-алгебр. Из этой категории есть стирающий функтор в категорию K-алгебр (т.е. забывающий о действии D). Алгебраисты хорошо знают, что подобные стирающие функторы обладают левыми сопряженными, и так описываются многие важные конструкции (левый сопряженный стирающего функтора, скажем, из категории групп в категорию множеств - это функтор, сопоставляющий множеству порожденную им свободную группу; аналогично возникают свободные кольца и т.п.; левый сопряженный к функтору, сопоставляющему кольцу его аддитивную группу - это функтор, сопоставляющий абелевой группе ее тензорную алгебру (или симметрическую, если мы ограничиваемся коммутативными кольцами); левый сопряженный к функтору, сопоставляющему кольцу его мультипликативную группу, это функтор, сопоставляющий группе ее групповую алгебру; левый сопряженный к функтору из категории ассоциативных алгебр в категорию алгебр Ли (забывающему умножение, а помнящему только коммутирование) - это сопоставление алгебре Ли ее обертывающей алгебры). Так вот, левый сопряженный к стирающему функтору из категории K[D]-алгебр в категорию K-алгебр - это функтор, сопоставляющий K-алгебре A некую K[D]-алгебру, которую я назвал D-оболочкой A. Если A - алгебра функций на некотором расслоении, K - алгебра функций на его базе, то D-оболочка A есть алгебра функций на расслоении ∞-джетов этого расслоения. Тут надо бы оговориться: если речь идет о полиномиальных или рациональных функциях на алгебраическом многообразии, то сказанное действительно верно; если об аналитических или бесконечно дифференцируемых, то нужны ухищрения, усложняющие конструкцию, чтобы все сошлось. Не буду на этом останавливаться.

В 1980г. я попросил Д.В.Алексеевского дать мне задачу, и он предложил найти препятствие к выпрямлению системы автономных обыкновенных дифференциальных уравнений порядка ≥3 (для системы 2-го порядка, если это система уравнений геодезических некоторой линейной связности, таким препятствием является кривизна этой связности). Чудесным образом оказалось, что моя конструкция D-оболочки как будто специально приспособлена для решения этой задачи. Правда эту конструкцию пришлось чуть-чуть обобщить: теперь D - не обязательно алгебра Ли всех дифференцирований K в себя и даже не обязательно ее подалгебра; D - K-модуль и алгебра Ли над константами, и зафиксирован некоторый ее гомоморфизм (относительно обеих этих структур) в алгебру дифференцирований K в себя. Чтобы исследовать автономные дифференциальные уравнения, нужно в качестве D взять 1-мерный K-модуль с нулевым коммутированием и нулевым гомоморфизмом в алгебру дифференцирований K. В этом случае D-оболочка оказалась градуированным кольцом, я обнаружил действие на ней алгебры Ли формальных векторных полей на прямой и не сразу сообразил, что наличие такого действия геометрически очевидно, потому что D-оболочка есть кольцо функций от джетов параметризованных кривых.

Я стал называть дифференциальным кольцом кольцо K (или C-алгебру, где C - поле констант) вместе с K-модулем D, являющимся и C-алгеброй Ли, и гомоморфизмом D в алгебру дифференцирований K в себя. Дифференциальному кольцу отвечает некоммутативное кольцо K[D] - кольцо дифференциальных операторов (или, если угодно, косых полиномов), оно порождено K, D и довольно очевидными соотношениями. В категории левых K[D]-модулей очевидным образом определено тензорное умножение над K; это позволяет ввести понятие K[D]-алгебры (более-менее K-алгебры с интегрируемой связностью). А именно, объект R категории с тензорным умножением называется моноидом, если задан морфизм R⊗R → R, удовлетворяющий условию ассоциативности (еще нужен аналог единицы, но эту деталь я опущу); K[D]-алгебра есть моноид в категории K[D]-модулей. Дальше постараюсь изложить это более последовательно.

Этот аппарат я пытался применить к исследованию дифференциальных инвариантов (например, инвариантов подмногообразий однородных пространств), но так и не достиг в этом успеха (возможно? не хватило терпения).

1. Линейные дифференциальные уравнения

Алгебра, придуманная для работы с линейными дифференциальными уравнениями, достаточно хорошо известна. Тут существует два подхода, не совсем эквивалентных. Напомню оба. C всюду будет означать кольцо констант; можно считать, что это поле действительных или комплексных чисел.

Пусть K - C-алгебра, P и Q - K-модули. На Hom_C(P,Q) действует K⊗_CK (C-модульный гомоморфизм P → Q можно умножить на элемент K как слева, так и справа). Пусть I - ядро канонической проекции K⊗K → K. Элементы аннулятора I^k в Hom_C(P,Q) называются дифференциальными операторами порядка k-1. Очевидно, дифференциальные операторы порядка 0 это в точности гомоморфизмы P → Q как K-модулей. Для любого модуля P функтор, сопоставляющий модулю Q множество дифференциальных операторов порядка k из P в Q, представим, т.е. существует универсальный дифференциальный оператор j_k: P → J_k(P) такой, что любой дифференциальный оператор порядка ≤ k однозначно представим в виде композиции j_k и некоторого гомоморфизма J_k(P) → Q. Легко видеть, что J_k(K) = K⊗K/I^k+1. Для произвольного K-модуля P можно написать J_k(P) = J_k(K)⊗P, хотя впрямую это равенство не верно: дело в том, что на J_k(K), очевидно, есть две естественные структуры K-модуля, и при тензорном умножении J_k(K) на P нужно использовать одну из них, а потом на тензорном произведении использовать другую.

Второй подход - это теория D-модулей. В кольце K[D] есть очевидная возрастающая фильтрация: K[D]_k - множество дифференциальных операторов порядка k - состоит из сумм элементов вида fδ₁...δ_i, где f ∈ K, δ₁,...,δ_i ∈ D, i ≤ k. Дифференциальным оператором из K-модуля P в K-модуль Q называется гомоморфизм индуцированных правых K[D]-модулей P⊗K[D] → Q⊗K[D]; дифференциальный оператор имеет порядок ≤ k, если этот гомоморфизм повышает фильтрацию не более чем на k. Чтобы избежать путаницы, будем называть дифференциальные операторы в смысле этого определения D-операторами. Разумеется, D-оператору всегда отвечает дифференциальный оператор (гомоморфизму P⊗K[D] → Q⊗K[D] сопоставляется композиция P → P⊗K[D] → Q⊗K[D] → Q), но это сопоставление не всегда сюръективно и не всегда инъективно.

Если K-модуль P конечнопорожден и проективен, то Hom_K[D](P⊗K[D], K[D]) = K[D]⊗P^*. Для конечнопорожденных проективных P и Q имеется каноническая биекция между гомоморфизмами правых K[D]-модулей P⊗K[D] → Q⊗K[D] и гомоморфизмами левых K[D]-модулей K[D]⊗Q^* → K[D]⊗P^* (это обычная двойственность линейной алгебры). В хороших случаях (например, когда K есть кольцо полиномиальных функций на гладком алгебраическом многообразии, а D - алгебра векторных полей на нем) K[D]_k⊗P^* = J_k(P)^*. Коядро гомоморфизма K[D]⊗Q^* → K[D]⊗P^*, отвечающего дифференциальному оператору L: P → Q, есть некоторый левый K[D]-модуль E^*; решения уравнения L(p)=0 - это гомоморфизмы K[D]-модулей E^* → K.

В хороших случаях градуированное кольцо, ассоциированное с K[D], есть симметрическая алгебра модуля D (этот факт обобщает теорему об обертывающих алгебрах алгебр Ли). D-оператору P → Q отвечает ассоциированный гомоморфизм градуированных модулей σ₀: S(D)⊗Q^* → S(D)⊗P^*; более того, возникает последовательность гомоморфизмов градуированных S(D)-модулей (σ_i: Ker(σ_i-1 → Cok(σ_i-1) (это частный случай спектральной последовательности, отвечающей комплексу с фильтрацией); σ_i повышает степень на k-i. Если σ_i=0 для всех i≥1, то Cok(σ₀ есть градуированный модуль, ассоциированный с коядром исходного гомоморфизма K[D]⊗Q^* → K[D]⊗P^*. В этом случае исходное уравнение L(p)=0 (где L - исходный D-оператор) называется формально разрешимым (потому что в этом случае формальные решения можно строить, последовательно находя члены их рядов Тейлора и не зайти при этом в тупик). Проверять равенство для бесконечного множества i не придется, потому что если Ker(σ₀ порождается своими компонентами до l-ой включительно, то достаточно проверить его для i≤k+l.

Рассмотрим пример. Пусть на K-модуле P задана связность - дифференциальный оператор P → P⊗D^* (с известными свойствами). Ему отвечает гомоморфизм левых K[D]-модулей K[D]⊗D⊗P^* → K[D]⊗P^*. Тогда σ это просто умножение S(D)⊗D → S(D) (умноженное на 1_P); младшая (1-ая) компонента Ker(σ) это Λ²(D)⊗P^*, она порождает Ker(σ); Cok(σ)=P^* (это младшая, 0-ая компонента, а все остальные компоненты - нули); заведомо σ₁=0 и σ₂=0; младшая компонента σ₃ есть кривизна связности: Λ²(D)⊗P^* → P^*.

Найти образующие градуированного S(D)-модуля легко: достаточно его тензорно (над S(D)) умножить на K - 0-ую компоненту S(D) (ведь 0-ая компонента Z₊-градуированного кольца является его факторкольцом); у получившегося градуированного K-модуля ненулевые компоненты будут только в тех размерностях, в которых есть образующие у исходного S(D)-модуля. Нас интересуют образующие ядра гомоморфизма S(D)-модулей σ₀: S(D)⊗Q^* → S(D)⊗P^*; но K⊗_S(D)Ker(σ₀ = Tor₂(K, Cok(σ₀) (точнее, это равенство нарушается в 0-ой компоненте, если таковая есть у K⊗_S(D)Ker(σ₀). Если эти Tor получать с помощью кошулевской резольвенты S(D)-модуля K, то становится очевидно, что они двойствены δ-когомологиям Спенсера (а сами δ-когомологии Спенсера - это Ext(K, Cok(σ₀)).

2. D-оболочки

Пусть (K,D) - дифференциальное кольцо (т.е. K - коммутативная C-алгебра, D есть K-модуль и одновременно C-алгебра Ли, и задан гомоморфизм (относительно обеих структур) D в алгебру дифференцирований K в себя); K[D] - соответствующее кольцо D-операторов. Стирающий функтор из категории K[D]-алгебр в категорию K-алгебр обладает левым сопряженным - взятием D-оболочки. D-оболочка A есть A-алгебра, порожденная элементами δ₁...δ_kf, δ_i ∈ D, i = 1...k, k=1,2,..., f ∈ A с понятными соотношениями. Если A есть симметрическая алгебра S(P) некоторого K-модуля, то D-оболочка A есть S(K[D]⊗P) (потому что левый сопряженный к стирающему функтору из категории левых K[D]-модулей в категорию K-модулей есть тензорное умножение на K[D], а левый сопряженный к стирающему функтору из категории K[D]-алгебр в категорию левых K[D]-модулей есть взятие симметрической алгебры K[D]-модуля как K-модуля) (т.е. линейные дифференциальные уравнения это в самом деле частный случай дифференциальных уравнений). Отсюда следует, что если D как K-модуль порожден коммутирующими элементами δ_i (1≤i≤n), а A есть кольцо полиномов K[u₁,...,u_m, то D-оболочка A есть кольцо полиномов от (u_j^i₁...i_k).

Пусть (K,D) - дифференциальное кольцо, A - K-алгебра, B - ее D-оболочка. Тогда любое K-дифференцирование A со значением в B[D]-модуле однозначно продолжается на B условием перестановочности с действием D. Отсюда легко выводится, что Ω_K(B) = B[D]⊗Ω_K(A). (Более-менее это утверждение я встречал у Помаре, но на геометрическом языке и формулировка, и доказательство не столь просты, как на алгебраическом, и не столь очевидны некоторые выводы.)

Следовательно эндоморфизмы B[D] как B-бимодуля действуют на Ω_K(B) B-модульными эндоморфизмами. А какие у B[D] бимодульные эндоморфизмы? Алгебра этих эндоморфизмов порождена D^*, действующей на B[D] B-дифференцированиями (в этом отношении косые полиномы не отличаются от обычных полиномов). Так что D^* действует на Ω_K(B) B-эндоморфизмами; это действие сохраняет (и даже понижает) каноническую фильтрацию. Геометрически это означает, что на касательных пространствах расслоения k-джетов сечений любого расслоения действует алгебра S(D^*) (точнее, действует S(D^*)/S^k+1(D^*)S(D^*)); кажется, это называется гиперкомплексной структурой (или обобщенной гиперкомплексной структурой).

При некоторых необременительных предположениях на D-оболочку K-алгебры можно канонически продолжать все ее дифференцирования в себя, а не только K-дифференцирования. Если D = Ω^*(K) и K-модуль D конечнопорожден и проективен, то любое дифференцирование K → B есть линейная комбинация элементов D с коэффициентами из B; так что любое дифференцирование A → B канонически разлагается в сумму дифференцирования, принадлежащего BD и K-дифференцирования; первое слагаемое действует на B уже по определению D-оболочки, а второе мы умеем продолжать. Другой способ продолжения на B дифференцирования A → B не требует никаких предположений о D, но тогда нужно , чтобы кроме самого дифференцирования были заданы его коммутаторы с элементами D, т.е. связность вдоль него D → BD (разумеется, этот способ приводит к тому же результату, что и первый, но вычисления могут оказаться проще). Бывает, что D изначально действует на A: например, если A = K⊗A₀ для некоторого A₀, или же A есть кольцо функций на некотором естественном расслоении над многообразием, кольцом функций на котором является K (под естественным расслоением я понимаю расслоение, на которое поднято действие группы диффеоморфизмов базы; к таковым относятся касательное и кокасательное расслоения, их тензорные произведения и т.п.; с интересными примерами естественных расслоений порядка >1 мы столкнемся ниже).

Если действие D на K нулевое, то D-оболочка кольца A есть кольцо функций от джетов отображений окрестности единицы группы Ли, отвечающей алгебре Ли D, в многообразие, кольцом функций на котором является A; или проще - от джетов параметризованных подмногообразий. Будем предполагать, что и коммутирование в D нулевое. Тогда D-оболочка любого A естественно градуирована (элемент δ₁...δ_ka имеет степень k). Легко видеть, что B₀=A, B₁ = D⊗&Omega(A); в B_k есть фильтрация длины k; верхний фактор этой фильтрации есть S^k(D)⊗Ω(A). Остальные факторы можно описать в предположении, что на A можно задать линейную связность (т.е. дифференциальный оператор &Omega(A) → &Omega(A)⊗&Omega(A) с известными свойствами) (линейная связность заведомо существует, если &Omega(A) проективен). В этом случае все факторы суть тензорные произведения симметрических степеней верхних факторов. В общем случае факторы являются фактормодулями этих тензорных произведений; ядра проекций на них являются естественными модулями, характеризующими особые точки спектра A (под естественным модулем я здесь понимаю модуль, функториально зависящий от кольца). Если D - свободный модуль с одной образующей δ, то δ^k: A → B_k индуцирует гомоморфизм J_k(A) → B_k; ядро этого гомоморфизма содержит A (джеты констант), и обычно больше ничего; при k=1 и k=2 этот гомоморфизм сюръективен, но уже при k=3 у него появляется коядро - Λ²(&\Omega;(A)).

Пусть снова коммутирование в D и действие D на K нулевые. Тогда каноническое действие D на D-оболочке естественно продолжается до действия алгебры Ли формальных векторных полей S(D)^*⊗D: действие S()D^* на Ω_K(B) распространяется обычным образом и на Ω_K^*(B), так что, применяя его к D ⊆ Ω_K^*(B), обнаружим, что на B действует дифференцированиями S(D)^*⊗D. Для простоты предположим, что D есть свободный модуль с образующей δ; пусть p - эндоморфизм Ω(B) = K[δ]⊗B⊗Ω(A), происходящий из стандартного дифференцирования кольца полиномов K[δ]; разумеется, p действует и на двойственном модуле - модуле дифференцирований B в себя. Дифференцирования ε_k = p^k+1(δ)/k! (k≥-1) порождают алгебру Ли W(1) формальных векторных полей на прямой. ε_k понижают стандартную градуировку B на k; при k≥0 это A-модульные гомоморфизмы; ε₀ является эйлеровским дифференцированием, отвечающим стандартной градуировке B: на B_k это умножение на k. Действие подалгебры коразмерности 1 алгебры Ли W(1), порожденной ε_k с k≥0, продолжается до действия бесконечномерной алгебраической группы, кольцо функций на которой есть D-оболочка кольца K[u,u^-1].

Хочу отметить интересный дифференциальный оператор, действующий в D-оболочке, когда D 1-мерный с нулевым действием на K: 1/kΣ(-δ)ⁱε_i+1: B_k → B_k+1 (где суммирование по всем целым неотрицательным i, B_k - k-ая компонента D-оболочки) - этот оператор является правым обратным для δ (стандартного дифференцирования D-оболочки , т.е. оператора взятия полной производной).

С геометрической точки зрения D-оболочка есть (в случае нулевого действия D на K) кольцо функций от джетов отображений в spec(A) окрестности нуля в D, т.е. от джетов параметризованных подмногообразий; ее подкольцо S(D^*)₊⊗D-констант (где S(D^*₊ - сумма всех симметрических степеней кроме 0-ой) есть кольцо функций от непараметризованных подмногообразий; но чтобы это подкольцо содержало что-то кроме A, нужно расширить D-оболочку - заменить ее некоторым ее кольцом частных (например, можно разбить образующие A на зависимые и независимые переменные и сделать обратимым якобиан независимых переменных; в этом случае мы получим в точности D-оболочку, но с другими K и D). Можно поступить иначе: слегка уменьшить S(D^*)₊⊗D - в ее младшей компоненте D^*⊗D оставить только элементы со следом 0; тогда кольцом констант окажется градуированное кольцо, проективный спектр которого есть множество джетов непараметризованных подмногообразий.

3. Вариационное исчисление

Для построения вариационного исчисления нужно кроме дифференциального кольца (K,D) и K-алгебры A зафиксировать еще правый K[D]-модуль (желательно проективный 1-мерный над K) - модуль мер M; обычно в качестве M выступает старшая внешняя степень модуля D^*. Оператор Эйлера - это композиция внешнего дифференцирования B⊗M → Ω_K(B)⊗M (где B - D-оболочка A) и канонической проекции Ω_K(B)⊗M = B[D]⊗Ω_K(A)⊗M → B[D]⊗Ω_K(A)⊗_K[D]M = B⊗Ω_K(A)⊗M. Сужение проекции Ω_K(B)⊗M → B⊗Ω_K(A)⊗M на Ω_K(B_k)⊗M (k-ый член стандартной фильтрации) есть дифференциальный оператор порядка k.

Применяя этот же метод - беря проекцию тензорного произведения на M над K на тензорное произведение на M над K[D], мы получим правую резольвенту оператора Эйлера - для этого этот метод нужно применить к комплексу деРама B как K-алгебры. Однако, внешние степени B-модуля Ω_K(B) кроме 1-ой не являются тензорными произведениями K[D] на что-то, так что после тензорного умножения над K[D] мы не получим B-модулей (и даже K-модулей). Чтобы этого избежать, можно заменить комплекс деРама на комплекс с членами Ω_K(B)⊗Λ^k-1(Ω_K(B)) (т.е. добавить к комплексу деРама прямое слагаемое с нулевыми дифференциалами); у получившейся резольвенты тогда появятся паразитические когомологии, но только на нижнем этаже стандартной фильтрации D-оболочки.

Если мы хотим иметь дело с лагранжианами, зависящими от джетов подмногообразий, а не сечений расслоения, то конструкцию оператора Эйлера придется чуть-чуть видоизменить (потому что тогда будет отсутствовать K - кольцо функций на базе). Если B есть кольцо функций от джетов непараметризованных подмногообразий многообразия, кольцом функций на котором является A, то на B действует дифференцированиями n-мерный B-модуль D (где n - размерность подмногообразий), так что имеется гомоморфизм Ω(B) → D^*. Его ядро является B[D]-модулем (это общий факт - связность вдоль слоения на нормальном расслоении к этому слоению); в рассматриваемом случае этот B[D]-модуль есть тензорное произведение B[D] и некоторого фактормодуля B⊗Ω(A).

В случае 1-мерного D с нулевым коммутированием и нулевым действием на K (обозначим его образующую δ) оператор Эйлера, как легко видеть, есть композиция внешнего дифференцирования B → &Omega(B) и проекции на B⊗&Omega(A) вдоль образа δ, действующего на Ω(B) производной Ли. Проекцию эту можно задать явной формулой: пусть p - описанный выше эндоморфизм B-модуля Ω(B) = B[δ]⊗Ω(A), происходящий из стандартного дифференцирования B[δ] (дифференцирования "по δ"); тогда проекция равна Σ(-δ)^kp^k/k! (сумма всегда конечна в силу нильпотентности p).

4. D-оболочки с кривизной

Конструкцию D-оболочки нетрудно изменить, чтобы охватить и неинтегрируемые связности. Пусть D есть K-модуль, действующий на K дифференцированиями (если на D есть структура алгебры Ли, мы о ней временно забудем). Можно рассмотреть категорию K-алгебр, на которые продолжено действие D, точно так же, как мы делали выше, опустив только требование перестановочности действия с коммутированием. У стирающего функтора в категорию K-алгебр есть левый сопряженный; он сопоставляет K-алгебре ее D-оболочку с кривизной - алгебру с теми же образующими, что у обычной D-оболочки, но с меньшим количеством соотношений. В D-оболочке с кривизной тоже есть каноническая возрастающая фильтрация подалгебрами; ее k-ый член есть кольцо функций на расслоении, которое я назвал расслоением полуголономных k-джетов сечений расслоения, кольцом функций на котором является A.

В рассматриваемой ситуации возникает еще один левый сопряженный функтор, немного обобщающий свободные алгебры Ли - левый сопряженный к стирающему функтору из категории K-модулей, действующих на K дифференцированиями в категорию таких модулей, обладающих также структурой C-алгебры Ли, причем действие дифференцированиями является гомоморфизмом и алгебр Ли (как это было в предыдущих абзацах). Этот левый сопряженный функтор переводит D в некоторую C-алгебру Ли D̃, также являющуюся K-модулем и действующую на K дифференцированиями. Если сам D был C-алгеброй Ли, действующей на K дифференцированиями, то возникает каноническая проекция D̃ → D; ядро D_hol этой проекции есть K-алгебра Ли (потому что ее элементы действуют на K нулевыми дифференцированиями); D_hol изоморфна коммутанту свободной алгебры Ли; на ней есть возрастающая фильтрация естественными K-подмодулями, обычно конечнопорожденными. Очевидно, действие D дифференцированиями на любой K-алгебре, продолжающее действие D на K, продолжается на D̃; при этом образ D_hol действует K-дифференцированиями, ее образ в алгебре всех дифференцирований - это алгебра голономии (ведь A более-менее является алгеброй функций на расслоении со связностью). Отмечу, что D̃-оболочка канонически изоморфна D-оболочке с кривизной, но канонические фильтрации подалгебрами на них разные; дело в том, что на K[D̃] есть две канонические фильтрации (можно к 1-му ее члену отнести только элементы K⊕D, а можно - элементы K⊕D̃). Гомоморфизму -модулей K[D̃]⊗Q → K[D̃]⊗P отвечает гомоморфизм ассоциированных градуированных модулей T(D)⊗Q → T(D)⊗P (здесь T(D) - тензорная алгебра K-модуля D; на K[D̃] подразумевается фильтрация, 1-ый член которой - K⊕D). Замечательно, что в этом случае взятие ассоциированного градуированного гомоморфизма является точным функтором, все аналоги σ_k - нули.

Обычно мы представляем конечнопорожденный левый K[D]-модуль E как коядро гомоморфизма K[D]⊗Q → K[D]⊗P, где P - некоторый K-подмодуль E, его порождающий, а Q - K-подмодуль ядра естественной проекции K[D]⊗P → E, порождающий это ядро. Но может оказаться полезным другое представление E в виде коядра гомоморфизма, а именно k[D̃]⊗D_hol⊗Ẽ → k[D̃]⊗Ẽ - здесь Ẽ - коядро гомоморфизма K[D̃]⊗Q → K[D̃]⊗P (нужно, чтобы K[D]⊗Q → K[D]⊗P повышал фильтрацию только на 1, но этого всегда можно добиться выбором P).

5. D-оболочки и спуск скаляров по Вейлю

Выше мы видели, что для линейных дифференциальных уравнений есть два алгебраических формализма - модулей джетов J_k(P) и модулей над кольцом косых полиномов K[D]. Аналогично дело обстоит и в случае нелинейных уравнений. Мы довольно подробно рассмотрели второй формализм, теперь опишем и первый. Начнем немного издалека: в произвольной категории, если эндофунктор умножения на некоторый объект X обладает правым сопряженным, то этот правый сопряженный называют возведением в степень X и обозначают соответствующим образом. Возводить в любую степень можно в топосах, в прочих же категориях такая возможность встречается редко. В категории двойственной категории коммутативных C-алгебр возводить в степень X можно тогда и только тогда, когда X (или лучше сказать, C-алгебра, отвечающая X) является проективным конечнопорожденным C-модулем. Возведение в степень X в этом случае называется спуском скаляров по Вейлю.

Очевидно, J_k(IK) является не только K-модулем, но и K-алгеброй. Тензорное умножение на нее является эндофунктором категории K-алгебр; обычно оно обладает левым сопряженным (в двойственной категории это возведение в степень, потому что тензорное произведение это копроизведение в категории коммутативных колец, т.е. произведение в двойственной категории). Обычно этот левый сопряженный переводит K-алгебру в k-ый член стандартной фильтрации ее D-оболочки (т.е. в алгебру функций на расслоении k-джетов сечений).

6. Нелинейные дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение порядка k, наложенное на сечения некоторого расслоения - это идеал k-го члена стандартной фильтрации D-оболочки кольца A (где K - кольцо функций на базе, A - кольцо функций на тотальном пространстве расслоения, D - алгебра всех дифференцирований K в себя); этот идеал порождает некоторый D-идеал D-оболочки (т.е. идеал, замкнутый относительно действия D); факторкольцо D-оболочки по этому D-идеалу есть K[D]-алгебра, отвечающая уравнению. Решения уравнения это гомоморфизмы этой алгебры в K (гомоморфизмы K[D]-алгебр). Можно рассматривать и решения со значением в различных K[D]-алгебрах; в т.ч. формальные решения, т.е. решения со значением в проективном пределе алгебр J_k(K). В силу свойств сопряженных функторов, формальные решения биективно соответствуют гомоморфизмам K-алгебр B' → K. Уравнение называется формально разрешимым, если пересечение соответствующего D-идеала D-оболочки с k+i-ым членом ее стандартной фильтрации порождается (как идеал) не более чем i-кратными производными элементов исходного идеала I.

Пусть B есть D-оболочка K-алгебры A, B' - K[D]-алгебра, отвечающая уравнению, т.е. факторалгебра B; пусть дано решение B' → K. Тогда K превращается в B'-алгебру, и можно рассмотреть тензорное произведение над B' B'[D]-модуля Ω_K(B') на K; оно является левым K[D]-модулем - линеаризацией рассматриваемого уравнения вдоль рассматриваемого решения. Поэтому сам модуль Ω_K(B') называют универсальной линеаризацией рассматриваемого уравнения.

Дифференциальное уравнение формально разрешимо тогда и только тогда, когда формально разрешима его универсальная линеаризация B'[D]⊗I/I² → B'[D]⊗Ω_K(A). Недостатком этого подхода является то, что все происходит над B', но если исходное уравнение не формально разрешимо, то B' может оказаться нулевым.

Пусть B есть D-оболочка K-алгебры A, B̃ - D-оболочка с кривизной алгебры A; пусть I - идеал B, B' - факторалгебра B по D-идеалу, порожденному I. Можно взять прообраз I в B̃ и порожденный им D̃-идеал, пусть B̃' - соответствующая факторалгебра. Универсальная линеаризация исходного уравнения - Ω_K(B') - является коядром гомоморфизма B̃'[D̃']-модулей D_hol⊗Ω_K(B̃') → Ω_K(B̃'). Как мы видели выше (уже для линейных дифференциальных уравнений), в этом случае переход к ассоциированным градуированным модулям точен.

Последнее изменение страницы 31 Jan 2023 

ПОДЕЛИТЬСЯ: