Сайт журнала
"Тёмный лес"

Главная страница

Номера "Тёмного леса"

Страницы авторов "Тёмного леса"

Страницы наших друзей

Кисловодск и окрестности

Тематический каталог сайта

Новости сайта

Карта сайта

Из нашей почты

Пишите нам! temnyjles@narod.ru

 

на сайте "Тёмного леса":
стихи
проза
драматургия
история, география, краеведение
естествознание и философия
песни и романсы
фотографии и рисунки
 
Главная страница
Страницы авторов "Темного леса"
Страница Ильи Миклашевского
 
Этика и этология
Чарльз Дарвин и его учение
Учение Николая Фёдорова в XXI веке
Биокосмогоническая гипотеза Юрия Насимовича
Артем Ферье
Акоп Назаретян
Философия истории Акопа Назаретяна
Философия Назаретяна - ключ к прошедшему и будущему
Гуманист и этатист
Очерки будущего
Мать городов русских
Рубайат
Стихи
Красный октябрь
Сказка о шести братьях
Прозаические миниатюры
К вопросу о чистоте русского языка
Всемирные конгрессы эсперанто
Норик Степанович Искандарян
Олег Георгиевич Соловьев
Кисловодский парк (фото)
Связности, конформные структуры и уравнение Эйнштейна
Категорные аспекты теории Галуа
Фемистокл Манилов

Илья Миклашевский

Связности, конформные структуры и уравнение Эйнштейна

Опубликовано на английском языке: "Connections, conformal structures and Einstein equation" (Seminar on supermanifolds, N27. Edited by D.Leites, 1988, N9). И сокращенно по-русски: "Конформная геометрия и уравнение Эйнштейна." (Функциональный анализ и его приложения, 1987, том 21, выпуск 4, стр. 79-80)

В статье предлагаются некоторые переформулировки уравнения Эйнштейна и его обобщений. Точнее, строятся некоторые калибровочно инвариантные уравнения на связности в абстрактных расслоениях над пространством-временем, не наделенным какими-либо структурами (например, метрикой), и устанавливаются естественные соответствия между их решениями и решениями уравнения Эйнштейна. Рассмотрены конформные структуры, содержащие метрику Эйнштейна или метрику Янга-Миллса. Описаны некоторые свойства связностей на векторных расслоениях. С проективной или конформной структурой на многообразии ассоциируются инвариантным образом векторные расслоения со связностью.

Традиционным объектом изучения дифференциальной геометрии являются сечения естественных расслоений, т.е. расслоений, ассоциированных с расслоением (высших) реперов. В физике эти сечения интерпретируются как физические поля. Группа диффеоморфизмов базы действует на естественном расслоении, и принцип ковариантности утверждает, что все физические уравнения инвариантны относительно этого действия. Однако, всё многообразие физических полей не удалось описать в рамках естественных расслоений над пространством-временем. Уже рассмотрение (фундаментальных для физики) спинорных полей требует обобщения "принципа ковариантности", т.к. спинорное расслоение не является естественным. Это приводит к необходимости абстрактных расслоений, т.е., вообще говоря, не являющихся естественными. Обобщением "принципа ковариантности" является требование инвариантности физических уравнений относительно расширения группы диффеоморфизмов базы с помощью калибровочной группы. В рамках калибровочных теорий физические поля описываются как сечения абстрактных расслоений и как связности на этих расслоениях. Проблема построения единой теории поля ("теории великого объединения") требует единообразного описания всех физических полей, например, в рамках калибровочной теории. Для этого, в силу принципа соответствия, необходима переформулировка эйнштейновской теории гравитации (ОТО) как калибровочной теории.

В настоящей работе описываются различные геометрические структуры (псевдоримановы метрики, линейные связности без кручения, проективные и конформные структуры, грассмановы спинорные структуры) в терминах связностей на абстрактных векторных расслоениях. Это дает подход к единообразному описанию физических полей, включая гравитацию, в рамках калибровочной теории. Переформулировка уравнения Эйнштейна может оказаться полезной и для нахождения его новых частных решений.

Приведем краткое содержание работы. Пусть E → Mn - векторное расслоение со связностью . В §1 с каждым подрасслоением F ⊆ E связывается 1-форма BF со значением в расслоении H=Hom(F,E/F). Мы называем ее формой Петерсона, она является естественным обобщением второй фундаментальной квадратичной формы поверхности в евклидовом пространстве. Приводится структурное уравнение для формы BF, являющееся обобщением классических уравнений Петерсона-Кодацци теории поверхностей. Форма BF называется невырожденной, если она определяет вложение касательного расслоения TM в H. В терминах подрасслоений с невырожденной формой BF описываются линейные связности без кручения, проективные структуры и грассмановы спинорные структуры (в смысле Манина) на многообразии Mn.

С проективной структурой на многообразии Mn ассоциируется некоторое (n+1)-мерное векторное расслоение со связностью и дается внутреннее описание таких расслоений.

В §2 рассматриваются метрические связности в расслоении E → M, т.е. связности, сохраняющие некоторое скалярное произведение ⟨·,·⟩ в E. С каждой псевдориммановой метрикой g на Mn ассоциируется (n+1)-мерное векторное расслоение Eg = TMnR, где R - 1-мерное тривиальное векторное расслоение с метрической связностью. Дано внутреннее описание таких расслоений и показано, как метрика описывается в терминах этих расслоений.

§3 посвящен описанию обобщенно эйнштейновых метрических связностей на многообразии M4. Известно, что лоренцева метрика Эйнштейна на M4 однозначно определяется линейной связностью без кручения, которая сохраняет лоренцеву метрику g (∇g=0) и имеет оператор кривизны R ∈ EndΛ2(TM4), перестановочный с оператором Ходжа *g. Метрическая связность, удовлетворяющая этому условию, (возможно, с ненулевым кручением), называется обобщенно эйнштейновой. Теорема 1 устанавливает, что расслоение E → M4 с метрической связностью изоморфно касательному расслоению с обобщенно эйнштейновой связностью, если оператор RR* ∈ EndΛ2(E) перестановочен с оператором Ходжа *g, ассоциированным со скалярным произведением на E.

Метрику g в M4 мы называем слабо эйнштейновой, если оператор (R-1)2 ∈ EndΛ2(Tm4) перестановочен с оператором Ходжа. Теорема 2 дает описание слабо эйнштейновой метрики в терминах 5-мерных расслоений с метрической связностью, ассоциированных с метрикой в смысле §2.

В §4 с конформной структурой C на многообразии Mn ассоциируется некоторое (n+2)-мерное векторное расслоение LC → Mn с метрической связностью (∇, ⟨·,·⟩). Даётся внутреннее описание таких расслоений и показывается, что конформная структура C и ее тензор Вейля легко описываются в терминах расслоения LC. Доказывается, что конформная структура C содержит метрику Эйнштейна тогда и только тогда, когда расслоение LC допускает ковариантно постоянное сечение. Таким образом, уравнение Эйнштейна для конформной структуры можно рассматривать как условие интегрируемости линейного уравнения, а именно, уравнения ∇s = 0, s ∈ Γ(LC). Описаны также расслоения LC, ассоциированные с конформными структурами, содержащими метрику, удовлетворяющую уравнению Янга-Миллса. Отметим, что расслоение LC ассоциированно с расслоением конформных 2-реперов, снабженным связностью Картана. В случае, когда dimM=4, расслоение LC изоморфно внешнему квадрату локально твисторного расслоения, описанного в [4].

Результаты §§3-4 можно интерпретировать как варианты калибровочной теории гравитации с группой SO(3,1), SO(4,1) или SO(4,2) (группа Лоренца, группа деСиттера и группа Пенроуза). При этом динамическими переменными являются коэффициенты связности. Отметим, что в [2] строятся калибровочные теории гравитации, динамическими переменными которых являются коэффициенты связности вместе с коэффициентами припаивающей формы.

В §5 строятся скалярные инварианты связности. Сопоставление результатов §4 и §5 приводит к методу построения инвариантов конформной структуры. Статья заканчивается примером простейшего калибровочно инвариантного лагранжиана.

Всюду в статье рассматриваются векторные расслоения со связностью над фиксированной базой Mn. Все рассмотрения посуществу локальны. Под уравнением Эйнштейна я понимаю вакуумное уравнение Эйнштейна с космологическим членом.

Я благодарен Д.В. Алексеевскому за неоценимую помощь в работе на всех этапах, а также В.Н. Пономареву за постановку задач, обсуждаемых в §3, и Ю.И. Манину, лекции которого по математической физике я посещал в течение нескольких лет.

§1. Связности в векторных расслоениях

В этом параграфе показано, как абстрактное векторное расслоение со связностью и подрасслоением может порождать различные структуры на касательном расслоении (проективную структуру, грассманову спинорную структуру). В начале параграфа дается характеризация расслоений со связностью, изоморфных касательному расслоению со связностью без кручения.

Пусть E есть векторное расслоение над n-мерным многообразием M, - связность на E, Φ - E-значная 1-форма на M, R есть EndE-значная 2-форма - кривизна связности . Форма Φ определяет гомоморфизм Φ̂: T(M) → E касательного расслоения в расслоение E.

Форма Φ называется невырожденной, если этот гомоморфизм имеет нулевое ядро. Если при этом dimE=n, то Φ̂ есть изоморфизм. Если Φ̂ есть изоморфизм, то определена линейная связность (т.е. связность в касательном расслоении) Φ, задаваемая формулой

XΦ(Y) = Φ̂-1XΦ̂(Y).

Предложение 1. Пусть E есть n-мерное векторное расслоение над n-мерным многообразием M, - связность на E, Φ - невырожденная E-значная 1-форма на M. Отождествим E с TM при помощи Φ̂. Тогда:

1) ∇ Φ отождествится с TM-значной 2-формой кручения линейной связности Φ,

2) 2Φ отождествится с TM-значной 3-формой Бьянки β(R), задаваемой формулой

β(RΦ)(X,Y,Z) = RΦ(X,Y)Z + RΦ(Y,Z)X + RΦ(Z,X)Y     (1).

Здесь - оператор ковариантного дифференцирования, действующий в пространстве Γ(E⊗Λ(TM)) E-значных дифференциальных форм на M, RΦ есть End(TM)-значная 2-форма кривизны связности Φ, X,Y,Z - векторные поля на M.

Доказательство следует из выкладки:

ΦX(Y) - ∇ΦY(X) - [X,Y] = Φ̂-1(∇XΦ(Y) - ∇YΦ(X) - Φ([X,Y])) = Φ̂-1∇Φ(X,Y).

С каждым подрасслоением F расслоения E связана каноническим образом 1-форма BF на M со значением в Hom(F,E/F), задаваемая формулой

BF(X)sx = ∇Xs(modFx)     (2),

где s - сечение подрасслоения F, проходящее через точку sx∈ Fx, x∈ M.

Будем называть BF формой Петерсона подрасслоения F.

Выбор дополнения F' к F в E определяет связности на F и на E/F, а тем самым и на Hom(F,E/F). Поэтому определен ковариантный дифференциал ∇ BF формы Петерсона подрасслоения F.

Следующее предложение является обобщением уравнения Петерсона-Кодацци.

Предложение 2. Ковариантный дифференциал ∇ BF формы Петерсона не зависит от выбора дополнения F' к F в E и равен

∇ BF = p(R)     (3),

где R есть End(E)-значная 2-форма кривизны связности , p: End(E) → Hom(F,E/F) - естественная проекция.

Доказательство. Пусть P - проекция E вдоль F на некоторое дополнение к F, s∈ Γ(F). Если отождествить это дополнение с E/F, то BF(X)s отождествится с P(∇Xs). Имеем

∇BF(X,Y)s = P∇XBF(Y)s - BF(Y)(1-P)∇Xs - P∇YBF(X)s + BF(X)(1-P)∇Ys - BF([X,Y])s = P∇XP∇Ys - P∇Y(1-P)∇Xs - P∇YP∇Xs + P∇X(1-P)∇Ys - P∇[X,Y]s = p(R(X,Y)s).

Замечание. Пусть M ⊆ RN - подмногообразие, E - сужение на M касательного расслоения к RN, F=TM. Тогда уравнение 3 превращается в классическое уравнение Петерсона-Кодацци.

Соединяя предложение 1 и предложение 2, получаем следующее.

Предложение 3. Пусть F - подрасслоение расслоения E со связностью, причом форма Петерсона подрасслоения F невырождена, и dimF·codimF=n=dimM. Предположим, что подрасслоение F инвариантно относительно операторов кривизны: R(X,Y)F ⊆ F. Тогда любое дополнение F' к F в E порождает связность без кручения в TM:

X(Y) = B̂F-1F'XF(Y),

где BF - форма Петерсона подрасслоения F, F' - связность на Hom(F,E/F), определяемая F'.

Доказательство получается применением предложения 1 к расслоению Hom(F,E/F) и форме BF.

Введем обозначения, которые нам понадобятся в следующем предложении. Пусть E - расслоение со связностью , F - подрасслоение расслоения E. Пусть F' и F'' - два дополнения к F в E. Они определяют связности ∇' и ∇'' на F и связности ∇'̅ и ∇''̅ на E/F. Допуская некоторую вольность речи, мы будем обозначать через ∇'̅ и ∇''̅ также и связности на F' и F'', определяемые их отождествлением с E/F. Пусть B' и B'' - форма Петерсона подрасслоения F, понимаемая как Hom(F,F')- и Hom(F,F'')-значная форма; B'̅ и B''̅ - формы Петерсона подрасслоения F' и F'', понимаемые как Hom(E/F,F)-значные формы. Пусть

∇', ∇'': Hom(E/F, F) → Hom(E/F, F) ⊗ Γ(T*M)

- операторы ковариантного дифференцирования, отвечающие, соответственно, связностям ∇'̅, ∇' и ∇''̅, ∇''. Паре дополнений F', F'' к подрасслоению F отвечает гомоморфизм A: E/F → F: A(s̅)=s'-s'', где s̅ ∈ Γ(E/F), s'∈ Γ(F'), s'' ∈ Γ(F''), s̅=p(s')=p(s''), где p: E → E/F - каноническая проекция.

Предложение 4. Пусть E есть расслоение со связностью , F - подрасслоение, F', F'' - дополнения к F в E. Тогда справедливы соотношения:

1) ∇''Xs-∇'Xs = -AB(X)s.

2) ∇''̅Xs̅ - ∇'̅Xs̅ = B(X)As̅.

3) B''̅(X) - B'̅(X) = ∇'A(X) - AB(X)A = ∇''A(X)+AB(X)A.

Доказательство.

1)

Xs = ∇'Xs+B'(X)s = ∇'Xs - AB(X)s + B'(X)s + AB(X)s = ∇'Xs - AB(X)s + B''(X)s.

2)

Xs'' = ∇X(s'+As̅) = ∇'̅Xs' + B'̅(X)s̅ + ∇'XAs̅ + B'(X)As̅ = ∇'̅Xs' + B'(X)As̅ + A∇'Xs̅ + AB(X)As̅ + B'̅(X)s̅ + ∇'XAs̅ - A∇'Xs̅ - AB(X)As̅.

Проекция этой суммы на E/F есть ∇''̅X.

3) Сумма первых четырех слагаемых принадлежит F'', а последние четыре принадлежат F, следовательно сумма последних четырех слагаемых есть B''̅(X)s̅.

Линейные связности ∇' и ∇'' называются проективно эквивалентными, если существует скалярная 1-форма α такая, что для любых векторных полей X,Y∈ Γ(TM) выполнено равенство

∇''XY = ∇'XY + α(X)Y + α(Y)X.

Класс проективно эквивалентных линейных связностей называется проективной структурой (см., например, [3]).

Предложение 5. Пусть E есть n+1-мерное векторное расслоение со связностью , F - 1-мерное подрасслоение с невырожденной формой Петерсона B. Тогда:

1) Связности на TMn, определяемые всевозможными дополнениями к F в E, образуют класс проективно эквивалентных линейных связностей.

2) Любая проективная структура на Mn может быть получена таким образом из некоторой тройки E,∇,F.

Доказательство. 1) Пусть F', F'' суть дополнения к F, A - соответствующий гомоморфизм E/F → F, отождествляемый со скалярной 1-формой α: α(X)s = AB(X)s, s∈ Γ(F). Тогда

∇''XY = B-1(∇''XB(Y) - B(Y)∇''X) = B-1(∇'XB(Y) + B(X)AB(Y) - B(Y)∇'X + B(Y)AB(X)) = B-1(∇'XB(Y) - B(Y)∇'X) + B-1(B(X)AB(Y) + B(Y)AB(X) = ∇'XY + α(Y)X + α(X)Y.

Здесь мы воспользовались 1-ым и 2-ым утверждениями предложения 4.

2) Очевидно. Сравни предложение 7, где рассмотрен случай нулевого кручения.

Переходим к построению расслоения со связностью, канонически соответствующего проективной структуре на базе.

Пусть 0 - связность без кручения на TMn, такая что индуцированная связность на Λn(TMn) - плоская, т.е. trR0(X,Y)=0 для всех X,Y. Рассмотрим расслоение L0 = Rs ⊕ TMn со связностью , задаваемой формулой:

X(φ,Y) = (X(φ)-ρ(X,Y)/(n-1), φX+∇0XY),

где Rs - 1-мерное тривиальное расслоение, φ ∈ C∈fty(Mn), X,Y ∈ Γ(TMn), ρ - тензор Риччи связности 0.

Предложение 6.

1) В классе проективно эквивалентных линейных связностей всегда найдутся связности индуцирующие плоскую связность на Λn(TMn);

2) если ∇', ∇'' суть проективно эквивалентные линейные связности, индуцирующие плоскую связность на Λn(TMn), то существует (локально) функция λ такая, что

∇''XY - ∇'XY = (X(λ)Y + Y(λ)X))/λ;

3) при тех же предположениях существует канонический изоморфизм расслоений со связностью φ: L∇' → L∇'', φ(s) = λs, φ(X) = λX + X(λ)s для некоторой функции λ.

Доказательство утверждений 1 и 2 очевидно. В (3) следует в качестве λ взять функцию, существование которой утверждается в (2). Тогда перестановочность φ со связностью следует из формул преобразования тензора Риччи при замене связности на проективно эквивалентную (см. например [6]).

Следствие. Пусть Mn - многообразие с проективной структурой, 0 - произвольная линейная связность из данного класса проективно эквивалентных связностей, индуцирующая плоскую связность на Λn(TMn). Тогда расслоение L0 со связностью и 1-мерным подрасслоением однозначно определяется проективной структурой.

Будем называть расслоение L0 расслоением, ассоциированным с проективной структурой. Следующее предложение описывает расслоения изоморфные расслоениям вида L0.

Предложение 7. Пусть E - n+1-мерное расслоение со связностью и 1-мерным подрасслоением F с невырожденной формой Петерсона и такое что R(X,Y)F ⊆ F для всех X,Y ∈ Γ(TMn). Пусть s ∈ Γ(F) - произвольное сечение. Тогда

1)

XYs = ∇∇°XYs + σ(X,Y)s,

где ∇° - некоторая линейная связность, σ - некоторая билинейная форма на TMn;

2) σ = τ - ρ/(n-1), где ρ - тензор Риччи связности ∇°, τ - некоторая билинейная форма на TMn, зависящая только от тройки E,∇,F;

3) тройка E,∇,F ассоциированна с некоторой проективной структурой тогда и только тогда, когда индуцирует плоскую связность на Λn+1(E) и τ=0.

Доказательство. 1) Сечение s индуцирует разложение E в прямую сумму E = Rs ⊕ TMn: (φ,X) ⇒ φs + ∇Xs.

2) Посмотрим, как меняется σ при замене s на λ s:

XYλ s = X(Y(λ))s + Y(λ)∇Xs + X(λ)∇Ys + λ∇X°Ys + λσ(X,Y)s = ∇Zλs + (σ(X,Y) + Ddλ)(X,Y) - 2X(λ)Y(λ)/λ2)λs,

где Z = ∇X°Y + (X(λ)Y+Y(λ)X)/λ.

Здесь мы воспользовались тождеством

X(Y(λ))-(∇X°Y)(λ) = (∇ dλ)(X,Y),

где D: Γ(T*Mn) → Γ(T*Mn⊗T*Mn) - оператор ковариантного дифференцирования, отвечающий связности ∇°.

3) При σ = -ρ/(n-1) наше отождествление E=Rs⊕ TMn превращает его в L∇°.

Грассмановой спинорной структурой в смысле Манина [1] на многообразии M называется разложение TM в тензорное произведение двух неодномерных расслоений. Пусть E - векторное расслоение со связностью над Mn и F - такое подрасслоение, что dimF·codimF=n, dimF≠1, codimF≠1, и форма Петерсона BF подрасслоения F невырождена. Тогда форма Петерсона задает на Mn грассманову спинорную структуру: TMn=F* ⊗ E/F.

Предложение 8. Всякая грассманова спинорная структура на Mn может быть получена из некоторых E,∇,F, описанным выше способом.

Доказательство. Пусть χ - F1⊗F2-значная 1-форма такая, что χ̂: TMn → F1⊗F2 = Hom(F1*,F2) - изоморфизм. Положим E=F1*⊕ F2, F=F1*. Выберем произвольные связности 1 на F1 и 2 на F2. Положим

X(s1,s2) = (∇1Xs1,∇2Xs2+χ(X)s1)

для s1 ∈ Γ(F1*), s2 ∈ Γ(F2), X ∈ Γ(TMn).

Замечание. Если грассманова спинорная структура TMn = F1⊗F2 происходит из некоторого расслоения со связностью и подрасслоением, то, как следует из предложения 1, на TMn имеется естественная связность, сохраняющая грассманову спинорную структуру и определенная с точностью до прибавления End(TMn)-значной 1-формы Aα вида Aα(X)Y = α̅(X,Y), где

α̅(f1⊗f2,f'1⊗f'2) = α(f1⊗f'2)f'1⊗f2 + α(f'1⊗f2)f1⊗f'2,

а α - некоторая скалярная 1-форма.

§2. Метрические связности

В этом параграфе установлено почти взаимно однозначное соответствие между псевдоримановыми метриками на многообразии Mn и классами изоморфных векторных расслоений со связностью, кривизна которой удовлетворяет некоторому алгебраическому уравнению. Это соответствие используется в следующем параграфе.

Пусть E есть векторное расслоение. Скалярным произведением на E называется поле симметрических билинейных форм на слоях E (если не оговорено противное, невырожденных), но, возможно, индефинитных.

Связность на векторном расслоении E называется метрической, если она сохраняет некоторое скалярное произведение (·,·) на E, т.е.

X(s1,s2) = (∇Xs1,s2) + (s1,∇Xs2),

где X∈ Γ(TM), s1,s2 ∈ Γ(E). Если группа голономий метрической связности неприводима, то инвариантное скалярное произведение определено однозначно с точностью до постоянного множителя.

Для краткости, допуская вольность речи, мы будем называть метрической связностью пару (∇,(·,·)), где - метрическая связность, (·,·) - сохраняемое ею скалярное произведение.

Пусть ∇,(·,·) - метрическая связность на расслоении E, и пусть R - End(E)-значная 2-форма кривизны связности . Если отождествить двойственное расслоение E* с E при помощи скалярного произведения (·,·), то форма R определит гомоморфизм

Λ2(TMn) → Λ2(E),

который мы будем называть гомоморфизмом кривизны.

Приведем описание псевдоримановых метрик на многообразии Mn в терминах метрических связностей на абстрактном n+1-мерном векторном расслоении над Mn.

Сопоставим псевдоримановой метрике g на Mn метрическую связность (∇,(·,·)) в расслоении E=TMnRs, задаваемую формулами

X(Y,φ) = ∇gXY + φX, X(φ) - g(X,Y),

((X,φ),(Y,χ)) = g(X,Y) + φχ     (4).

Здесь Rs - 1-мерное тривиальное расслоение над Mn, g - связность Леви-Чевиты метрики g, X,Y∈ Γ(TMn), φ,χ ∈ C∈fty(Mn).

Будем называть это расслоение с метрической связностью расслоением, ассоциированным с метрикой g. Заметим, что сечение s=(0,1)∈ Γ(E) аннулируется всеми операторами кривизны R(X,Y), а метрика g восстанавливается по ассоциированному расслоению E с метрической связностью (∇,(·,·)) и сечению s∈ Γ(E) по формуле

g(X,Y)=(∇Xs,∇Ys)     (5).

Имеет место следующее предложение.

Предложение 9. Пусть ∇,(·,·) - метрическая связность в n+1-мерном расслоении E над Mn, и пусть s - сечение расслоения E, удовлетворяющее условиям: а) (s,s)=1; б) форма Петерсона подрасслоения Rs невырожденна; в) R(X,Y)s=0 для любых X,Y∈ Γ(TMn). Тогда формула (5) задает псевдориманову метрику на Mn, причем расслоение E с метрической связностью ∇,(·,·) канонически изоморфно расслоению, ассоциированному с этой метрикой.

Доказательство. Требуемый изоморфизм ассоциированного расслоения на расслоение E задается формулой (X,φ) ⇒ φ s+∇Xs.

Следствие. Имеется биекция между псевдоримановыми метриками на Mn и классами изоморфных наборов (E,∇,(·,·),s), где ∇,(·,·) - метрическая связность на n+1-мерном расслоении, s - сечение E, удовлетворяющее условиям предложения 9.

Замечание 1. В случае общего положения (если гомоморфизм кривизны R: Λ2(TMn) → Λ2(E) инъективен), сечение s, удовлетворяющее условиям предложения 9 (если оно существует), определено однозначно с точностью до знака (причем замена s на -s не меняет соответствующей метрики), так что вместо четверок E,∇,(·,·),s можно рассматривать тройки E,∇,(·,·). Условие существования сечения s, удовлетворяющего условиям предложения 9, есть алгебраическое уравнение на кривизну связности .

Замечание 2. Это алгебраическое уравнение на кривизну выражает в точности неинъективность кривизны как гомоморфизма E → E ⊗ Λ2(T*Mn). При n=2 оно, очевидно, выполнено тождественно.

Замечание 3. Наши рассмотрения можно обобщить, построив по метрике на базе семейство ассоциированных расслоений с метрической связностью, зависящих от параметра c∈ R, заменив (4) на

X(Y,φ) = ∇gXY + cφ X, X(φ)-g(X,Y),

((X,φ),(Y,χ)) = g(X,Y)+cφχ.

При c=0 скалярное произведение (·,·) вырождено. Все эти ассоциированные расслоения с метрической связностью, отвечающие разным c > 0 канонически изоморфны друг другу, и то же верно для c < 0. Рассмотрим случай, когда размерность базы n=4, а метрика имеет лоренцову сигнатуру. Тогда ассоциированное расслоение при c>0 связано с калибровочными теориями с группой деСиттера So(4,1), при c<0 - с группой анти-деСиттера So(3,2), а при c=0 - с группой Пуанкаре. В дальнейшем мы не будем рассматривать ассоциированные расслоения в этом, более широком смысле.

§3. Описание уравнения Эйнштейна в терминах абстрактных расслоений
(при n=4)

В этом параграфе устанавливаются соответствия между эйнштейновыми метриками на M4 и метрическими связностями в 4-мерных и 5-мерных векторных расслоениях, удовлетворяющими некоторым условиям.

В случае n=4 вакуумное уравнение Эйнштейна с космологическим членом допускает следующую формулировку (см. [5]). Метрическая связность ∇,g на касательном расслоении TM4 называется эйнштейновой, если ее кручение =0, а ее кривизна (рассматриваемая как эндоморфизм внешнего квадрата Λ2(TM4) касательного расслоения) перестановочна с оператором Ходжа, определяемым метрикой g. Будем называть метрическую связность на касательном расслоении TM4 обобщенно эйнштейновой, если выполнено только условие перестановочности кривизны с оператором Ходжа. Это равносильно симметричности тензора Вейля и антисимметричности бесследового тензора Риччи (как билинейных форм на Λ2(TM4)).

В следующей теореме дается необходимое условие для того, чтобы 4-мерное расслоение с метрической связностью было изоморфно касательному расслоению с эйнштейновой метрической связностью. Для ее доказательства нам потребуется следующая лемма, относящаяся к линейной алгебре.

Лемма. Эндоморфизм внешнего квадрата 4-мерного векторного пространства является оператором Ходжа, порожденным некоторым скалярным произведением, тогда и только тогда, когда он самосопряжен относительно естественного скалярного произведения со значением в 4-й внешней степени, а его квадрат =±1.

Пусть E - 4-мерное расслоение над M4 с метрической связностью ∇,(·,·). Выбор формы объема на базе определяет скалярное произведение на Λ2(TM4) и, тем самым, гомоморфизм

R*: Λ2(E) → Λ2(TM4)

двойственный гомоморфизму кривизны связности .

Теорема 1. Для того, чтобы 4-мерное расслоение E над M4 с метрической связностью ∇,(·,·) было изоморфно касательному расслоению TM4 с некоторой обобщенно эйнштейновой метрической связностью необходимо выполнение равенства

RR*z = zRR*     (6),

где R - гомоморфизм кривизны связности , R* - двойственный гомоморфизм, z - оператор Ходжа в Λ2(E), определяемый скалярным произведением.

Если ядро гомоморфизма кривизны R не пересекается со своим ортогональным дополнением, то условие (6) является и достаточным (в частности, это так, если KerR=0).

Замечания.

1) Очевидно, условие (6) не зависит от выбора формы объема на M4.

2) Если выбраны локальные координаты на M4 и тривиализация расслоения E, то формулу 6 можно записать так:

Rα β[ijRλ μkl]zγ δλ μ = Rγ δ[ijRλ μkl]zα βλ μ     (*).

Здесь латинские индексы относятся к координатам на базе, греческие - к координатам на слое, квадратные скобки означают альтернирование, z - оператор Ходжа.

Доказательство теоремы 1. Оператор Ходжа является самосопряженным оператором. Поэтому из его перестановочности с R вытекает его перестановочность с R*, а значит и с RR*.

Обратно, пусть KerR ∩ KerR°< = 0. Тогда ImR = ImRR* и, значит, при условии (6), ImR инвариантен относительно оператора Ходжа

z: Λ2(E) → Λ2(E).

Гомоморфизм R осуществляет изоморфизм KerR° → ImR. Перенесем оператор Ходжа с ImR на KerR° при помощи этого изоморфизма. Если KerR≠ 0, доопределим оператор Ходжа на KerR произвольным образом, так, чтобы он был самосопряженным относительно естественного скалярного произведения на Λ2(TM4) со значениями в Λ4(TM4), и его квадрат равнялся ±1 (знак определяется сигнатурой). Из леммы следует, что построенный эндоморфизм является оператором Ходжа некоторой метрики на M4. Мы приходим к равенству

RzT = zER     (7),

где zE, zT - операторы Ходжа, соответственно, в Λ2(TM4) и Λ2(E). Выберем произвольную изометрию Φ̅: TM4 → E, и отождествим с ее помощью расслоения E и TM4. Тогда формула (7) превращается в требуемое равенство RΦzT = zTRΦ, где RΦ кривизна связности на TM4, перенесенная с E при помощи Φ̅.

Пусть расслоение E с метрической связностью изоморфно касательному расслоению TM4 с некоторой обобщенно эйнштейновой метрической связностью ∇,g, т.е. существует изоморфизм расслоений с метрической связностью Φ̅: TM4 → E. Тогда E-значная 1-форма Φ, соответствующая Φ̅, называется припаивающей формой.

Если расслоение E с метрической связностью удовлетворяет уравнению 6, и KerR=0, то припаивающая форма определена однозначно с точностью до конформного множителя (в частности, конформный класс эйнштейновой метрики на базе определен однозначно).

Пусть V - произвольное 4-мерное векторное пространство со скалярным произведением. В случае лоренцевой сигнатуры оператор Ходжа превращает Λ2(V) в 3-мерное комплексное пространство; в случае, когда скалярное произведение знакоопределено или имеет сигнатуру ++--, Λ2(V) распадается в прямую сумму двух 3-мерных вещественных пространств - собственных пространств оператора Ходжа. Эта комплексная структура и это разложение используется в следующем предложении.

Предложение 10. Пусть E - 4-мерное расслоение над M4 с метрической связностью, гомоморфизм кривизны которой инъективен.

1) Оно изоморфно касательному расслоению TM4 с некоторой обобщенно эйнштейновой метрической связностью без космологического члена (т.е. с нулевой скалярной кривизной) и нулевым тензором Бьянки (1) тогда и только тогда, когда оператор RR* перестановочен с оператором Ходжа и удовлетворяет следующему алгебраическому условию: а) если сигнатура лоренцева, то

(tr C(RR*))2 = 2tr C(RR*)2     (8-а),

где tr C означает комплексный скаляр - след комплексного эндоморфизма; б) если скалярное произведение знакоопределенно или имеет сигнатуру ++--, то

(tr(RR*)+)2 = 2tr((RR*)+)2(tr(RR*)-)2 = 2tr((RR*)-)2     (8-б),

где (RR*)+ и (RR*)- - сужения RR* на собственные подпространства звездочки Ходжа.

2) При выполнении этих условий припаивающая форма определена однозначно с точностью до скалярного множителя.

Доказательство. Назовем припаивающую форму Φ допустимой, если метрическая связность Φ = Φ̅-1∇ Φ̅ обобщенно эйнштейнова. Выберем произвольную допустимую припаивающую форму Φ (существующую по теореме 1). Любая допустимая припаивающая форма имеет вид Φ A, где A - произвольный конформный автоморфизм TM4. Обращение в 0 тензора Бьянки равносильно самосопряженности кривизны как эндоморфизма Λ2(TM4) и обращению в 0 ее компоненты, пропорциональной оператору Ходжа, (т.е. мнимой части ее следа). Поэтому задача сводится к доказательству существования и единственности такого конформного автоморфизма A: TM4 → TM4, что

RΦΛ2(A) = (RΦΛ2(A))*,

tr C(RΦΛ2(A) = 0

(в случае лоренцевой сигнатуры; в случае другой сигнатуры tr(RΦΛ2(A)+ = tr(RΦΛ2(A))-). Здесь RΦ - кривизна связности Φ, Λ2(A)(x∧ y) = Ax∧ Ay тоже коммутирует с звездочкой.

Поскольку любой ортогональный автоморфизм Λ2(TM4), коммутирующий с звездочкой Ходжа, имеет вид Λ2(A) для некоторого ортогонального A: TM4 → TM4, задача сводится к построению комплексно ортогонального аналога полярного разложения эндоморфизма R. Разложение R в композицию самосопряженного и ортогонального эндоморфизмов биективно соответствуют квадратным корням из RR*, поскольку эндоморфизм R невырожден. Из невырожденного эндоморфизма всегда можно извлечь квадратный корень, причем, если у него нет одинаковых жордановых клеток - конечным числом способов. В 3-мерном случае имеется не более одного квадратного корня с нулевым следом. Условие существования квадратного корня с нулевым следом из RR* есть (8).

Замечание. Гомоморфизм кривизны обобщенно эйнштейновой связности без космологического члена с нулевым тензором Бьянки может быть либо невырожденным, либо равным 0, либо иметь 2-мерное ядро. В последнем случае на пространстве-времени имеется поле 2-мерных касательных плоскостей такое, что ядро кривизны порождается его внешним квадратом и внешним квадратом его ортогонального дополнения. При этом однозначность соответствия теоремы 1 нарушается. Соответствующее абстрактное расслоение со связностью распадается в сумму двух 2-мерных: E=E1⊕ E2,

Λ2(E1)⊕ Λ2(E2) = KerR*.

Пусть припаивающая форма Φ есть Φ1⊕ Φ2. Тогда припаивающая форма A1Φ1⊕ A2Φ2 тоже допустима; здесь A1 и A2 - произвольные конформные автоморфизмы E1 и E2. Утверждение пункта 1 предложения 10 остается верным и в случае вырожденного гомоморфизма кривизны.

Предложение 11. Пусть E - 4-мерное расслоение над M4 с метрической связностью (∇,(·,·)), гомоморфизм кривизны которой инъективен, и пусть существует невырожденная E-значная 1-форма Φ такая, что линейная связность Φ в TM4 эйнштейнова (т.е. обобщенно эйнштейнова и без кручения) без космологического члена. Тогда такая форма Φ единственна (с точностью до постоянного множителя).

Доказательство вытекает из утверждения 2 предложения 10, предложения 1 и дополняющей его следующей леммы.

Лемма. Пусть E - расслоение со связностью над Mn, Φ - E-значная 1-форма такая, что размерность образа Φ̂: TMn → E не меньше 2. Тогда, если ∇ Φ =0 и ∇(fΦ)=0 для некоторого f∈ C∈fty(Mn), то f - константа.

Замечание. Из леммы следует, что для n-мерных расслоений E со связностью "общего положения" над Mn (n≥4) справедливо следующее. Если существует E-значная 1-форма Φ такая, что линейная связность Φ не имеет кручения, то Φ единственна с точностью до постоянного множителя. Дело в том, что если такое Φ существует, то ядро гомоморфизма

2: E ⊗ T*Mn → E ⊗ Λ3T*Mn

в случае "общего положения" 1-мерно.

Перейдем к характеризации эйнштейновых метрик на M4 в терминах 5-мерных расслоений со связностью. Следующая теорема дает необходимые условия для того, чтобы 5-мерное расслоение со связностью было ассоциировано (в смысле §2) с эйнштейновой метрикой на базе.

Назовем метрику g на M4 слабо эйнштейновой, если кривизна ее (как эндоморфизм внешнего квадрата касательного расслоения) удовлетворяет условию

(R-1)2* = *(R-1)2     (9)

где R - кривизна метрики g, *: Λ2TM4 → Λ2TM4 - оператор Ходжа, определяемый метрикой g.

Заметим, что множество эйнштейновых метрик открыто в пространстве слабо эйнштейновых метрик.

Пусть V - произвольное 5-мерное векторное пространство со скалярным произведением. Любому вектору v∈ V отвечает эндоморфизм внешнего квадрата Λ2V этого пространства, задаваемый формулой v̂(w) = *(v∧ w), где * - оператор Ходжа.

Теорема 2. 5-мерное расслоение E над M4 с метрической связностью (∇,(·,·)) ассоциировано со слабо эйнштейновой метрикой на M4 тогда и только тогда, когда существует такое сечение s∈ Γ(E), удовлетворяющее условиям предложения 9 и такое, что форма Петерсона подрасслоения Rs невырожденна, а соответствующий эндоморфизм

ŝ: Λ2E → Λ2E

перестановочен с композицией гомоморфизма кривизны и двойственного гомоморфизма:

RR*ŝ = sRR*     (10)

Доказательство. Пусть E ассоциированно со слабо эйнштейновой метрикой. Тогда расслоение E естественно изоморфно Rs⊕ TM4. Поэтому Λ2E отождествляется с Λ2TM4 ⊕ TM4. При этом эндоморфизм ŝ: Λ2E → Λ2E задается блочной матрицей

* 0
0 0
где *: Λ2TM4 → Λ2TM4 оператор Ходжа; гомоморфизм кривизны связности отождествится с (Rg-1,0), где Rg - гомоморфизм кривизны связности Леви-Чевиты. Поэтому RR* имеет блочную матрицу, единственный ненулевой блок которой равен (R-1)2. Отсюда вытекает требуемое утверждение.

Замечание. Множество метрических связностей, описываемых теоремой 2, открыто и плотно в множестве связностей, кривизна которых удовлетворяет некоторому алгебраическому уравнению.

§4. Конформные структуры и уравнение Эйнштейна

В начале параграфа дается описание конформных структур на многообразии Mn в терминах n+2-мерных расслоений с метрической связностью. Затем в терминах этого расслоения характеризуются эйнштейновы конформные структуры и конформные структуры Янга-Милса.

Конформной структурой на многообразии M называется 1-мерное ориентированное подрасслоение C ⊆ S2(T*(M)) симметрического квадрата кокасательного расслоения, состоящее из невырожденных форм (не считая 0). Не обращающиеся в 0 положительные сечения расслоения C называются метриками, подчиненными конформной структуре C.

Пусть C - конформная структура на многообразии Mn, и пусть g - подчиненная ей метрика. Рассмотрим расслоение

Lg = Rp ⊕ TMnRq,

где Rp и Rq - 1-мерные тривиальные расслоения, TMn - касательное расслоение, p=(1,0,0), q=(0,0,1). Определим в Lg метрическую связность (т.е. скалярное произведение (·,·) и сохраняющую его связность ), полагая

(p,q)=1, (p,p) = (q,q) = (p,TMn) = (q,TMn) = 0, (X,Y) = g(X,Y), ∇Xp=X, ∇Xq = r0(X), ∇XY = (-ρ0(X,Y)p + ∇gXY - g(X,Y)q).     (11)

Здесь g - связность Леви-Чевиты, ρ0(X,Y) = (ρ(X,Y) - S/(2n-2))/(n-2), где ρ - тензор Риччи метрики g, S - ее скалярная кривизна, r0∈ EndTMn - эндоморфизм касательного расслоения, отвечающий билинейной форме ρ0: ρ0(X,Y)=g(r0(X),Y), X,Y ∈ Γ(TMn) ⊆ Γ(Lg).

Предложение 12. Пусть C конформная структура на многообразии Mn; g, g' = λ2g - подчиненные ей метрики (λ ∈ C∈fty(Mn)). Тогда существует канонический изоморфизм расслоений с метрической связностью

φ: Lg' → Lg,

φ(p) = λp, φ(X) = λX+X(λ)p, φ(q) = q/λ - gradg(λ)/λ2 - |gradg(λ)|g23p.     (12)

Доказательство. Перестановочность изоморфизма φ с метрической связностью следует из формул преобразования тензора Риччи при замене метрики на конформно эквивалентную (см., например, [6]).

Таким образом расслоение Lg зависит только от конформной структуры C, а не от выбора подчиненной метрики. Так что мы будем писать LC вместо Lg и называть его расслоением, ассоциированным с конформной структурой C.

Следующая теорема описывает расслоения с метрической связностью, ассоциированные со всевозможными конформными структурами на базе Mn, и показывает, как восстановить конформную структуру по ассоциированному с ней расслоению с метрической связностью.

Пусть E - расслоение с метрической связностью (∇,(·,·)). Пусть F - 1-мерное изотропное подрасслоение. Обозначим через ортогональное дополнение к F. Тогда на факторрасслоении F°/F возникает обычным образом невырожденное скалярное произведение. Мы ограничимся случаем, когда подрасслоение F инвариантно относительно операторов кривизны: R(X,Y)F ⊆ F. Если форма Петерсона подрасслоения F невырожденна и dimE = n+2, то форма Петерсона осуществляет изоморфизм TMn → Hom(F,F°/F) и тем самым изоморфизм TMn → F°/F, определенный с точностью до скалярного множителя. Этот изоморфизм определяет некоторую конформную структуру C на Mn. Метрики g, подчиненные этой конформной структуре C имеют вид:

g(X,Y) = (∇Xp,∇Yp), p∈ Γ(F)     (13)

Напомним, что при замене метрики на конформно эквивалентную тензор Вейля Wg заменяется на Wλ2g = λ2Wg.

Теорема 3. Пусть E n+2-мерное расслоение над Mn с метрической связностью (∇,(·,·)). Пусть F 1-мерное изотропное подрасслоение с невырожденной формой Петерсона, инвариантное относительно операторов кривизны: R(X,Y)F ⊆ F при X,Y∈ Γ(TMn). Пусть C - конформная структура на Mn, задаваемая формулой 13. Тогда:

1)

(R(X1,X2)∇X3p,∇X4p) = Wg(X1∧ X2,X3∧ X4) + g(X2,X3)τ(X1,X4) - g(X1,X3)τ(X2,X4) + g(X1,X4)τ(X2,X3) - g(X2,X4)τ(X1,X3),

где τ - некоторая билинейная форма на TMn.

2) Четверка (E,∇, (·,·), F) однозначно с точностью до изоморфизма определяется конформной структурой (13) и билинейной формой τ.

3) Расслоение E с метрической связностью (∇,(·,·)) изоморфно ассоциированному расслоению LC тогда и только тогда, когда τ =0.

Доказательство. Выберем сечение p расслоения F. Это порождает разложение E=Rp ⊕ TMnRq, где вложение TMn → E задается формулой X ⇒ ∇Xp, а сечение q определяется условиями (q,q)=0, (p,q)=1, (∇Xp,q)=0 для всех X∈ Γ(TMn). Очевидно, существует эндоморфизм s: TMn → TMn такой, что Xq = ∇sXp. Пусть g есть риманова метрика на базе, задаваемая равенством (13). Проекция связности на TMn ⊆ E совпадает со связностью Леви-Чевиты этой метрики, потому что подрасслоение Rp = F инвариантно относительно кривизны связности . Имеем

(R(X1,X2)∇X3p, ∇X4p) = Rg(X1∧ X2,X3∧ X4) - g(X2,X3)σ(X1,X4)) + g(X1,X3)σ(X2,X4) - g(X1,X4)σ(X2,X3) + g(X2,X4)σ(X1,X3) = Wg(X1∧ X2,X3∧ X4) + g(X2,X30(X1,X4) - g(X1,X30(X2,X4) + g(X1,X40(X2,X3) - g(X2,X40(X1,X3) - g(X2,X3)σ(X1,X4) + g(X1,X3)σ(X2,X4) - g(X1,X4)σ(X2,X3) + g(X2,X4)σ(X1,X3);

здесь R - кривизна связности , Rg, Wg - кривизна и тензор Вейля метрики g, рассматриваемые как квадратичные формы на Λ2(TMn), ρ0 - тензор Риччи метрики g, σ - билинейная форма, отвечающая эндоморфизму s. Это равенство доказывает 1-ое утверждение, если положить τ =ρ0.

Эндоморфизм s, очевидно, выражается через τ. Это доказывает 2-ое утверждение.

При σ =ρ0 наше отождествление E=Rp ⊕ TMnRq превращает его в Lg. Это доказывает 3-ье.

Замечание 1. Расслоение C канонически изоморфно тензорному квадрату расслоения F. Расслоение E изоморфно факторрасслоению расслоения J2(F*) 2-джетов расслоения F*, определяемому конформной структурой C. А именно: ядро естественной проекции J2(F*) → J1(F*) изоморфно F*⊗S2T*Mn. Конформная структура C определяет проекцию p: S2T*Mn → C. Расслоение E изоморфно факторрасслоению J2(F*) по F*⊗Ker(p) ⊆ F*⊗S2T*Mn ⊆ J2(F*).

Замечание 2. В случае, когда размерность базы n=4, расслоение LC, ассоциированное с некоторой конформной структурой C, естественно изоморфно вещественной форме внешнего квадрата локально твисторного расслоения TC [4], которое состоит из элементов, неподвижных относительно оператора Ходжа *: Λ2TC → Λ2TC.

Перейдем к описанию связи уравнения Эйнштейна с расслоением LC. Условие эйнштейновости конформной структуры C (т.е. условие существования эйнштейновой метрики, подчиненной конформной структуре C), равносильно совместности некоторой системы линейных дифференциальных уравнений, а именно ∇ s=0, как показывает следующая теорема.

Теорема 4. Конформная структура C на многообразии Mn является эйнштейновой тогда и только тогда, когда ассоциированное с ней n+2-мерное расслоение LC имеет горизонтальное сечение. Скалярный квадрат этого сечения с точностью до положительной константы равен , где Λ - космологическая константа: ρ(X,Y) = Λg(X,Y).

Доказательство. Рассмотрим расслоение Lg, построенное по эйнштейновой метрике g. Тогда сечение q-Λ p является горизонтальным. Обратно, пусть сечение s∈ Γ(LC) расслоения, ассоциированного с конформной структурой C, является горизонтальным. Вместе с сечением p оно порождает 2-мерное подрасслоение, инвариантное относительно операторов кривизны. Спроектированная на него связность плоская. Поэтому существует сечение λ p, λ ∈ C∈fty(Mn), пропорциональное p и горизонтальное относительно спроектированной связности. Отвечающая ему метрика

g(X,Y) = (∇Xλ p,∇Yλ p)

будет эйнштейновой.

Следствие. n+2-мерное расслоение над Mn с метрической связностью ассоциированно с некоторой эйнштейновой конформной структурой на Mn тогда и только тогда, когда у него есть 2-мерное подрасслоение E1, удовлетворяющее следующим условиям: сужение скалярного произведения на E1 невырожденно и индефинитно; форма Петерсона подрасслоения E1 осуществляет изоморфизм касательного расслоения TMn на некоторое подрасслоение расслоения Hom(E1,E/E1), все сечения которого имеют общее ядро. При этом тензор Вейля метрики g(X,Y) = (P∇Xs,P∇Ys), где s∈ Γ(E1), P: E → E1° - ортогональная проекция) совпадает с кривизной связности, спроектированной на ортогональное дополнение к E1 (после отождествления кривизны с End(TMn)-значной 2-формой).

Метрика на многообразии Mn называется метрикой Янга-Милса, если ее тензор Риччи ρ удовлетворяет уравнению:

(∇gXρ)(Y,Z) = ∇gYρ)(X,Y),

X,Y,Z∈ Γ(TMn), g - связность Леви-Чевиты. Известно, что метрика g является метрикой Янга-Милса тогда и только тогда, когда соответствующая связность Леви-Чевиты g удовлетворяет уравнению Янга-Милса [1].

Конформная структура называется конформной структурой Янга-Милса, если существует подчиненная ей метрика Янга-Милса.

Предложение 13. Конформная структура C на многообразии Mn является конформной структурой Янга-Милса тогда и только тогда, когда ассоциированное с ней расслоение LC имеет 2-мерное подрасслоение, содержащееся в ядре всех операторов кривизны R(X,Y) (X,Y ∈ Γ(TMn).

Доказательство основано на следующей формуле, относящейся к расслоению Lg=Rp ⊕ TMnRq, отвечающему произвольной метрике g:

R(X,Y)q = ∇gr(X,Y) ∈ Γ(TMn) ⊆ Γ(Lg),

где gr такая TMn-значная 2-форма, что

g(∇gr(X,Y),Z) = ∇gXρ(Y,Z) - ∇gYρ(X,Z).     (14)

Все дальнейшие рассуждения вполне аналогичны доказательству теоремы 4.

§5. Инварианты связностей

В этом параграфе описывается процедура построения скалярных и тензорных инвариантов связности на векторном расслоении E → M относительно расширения группы дифеоморфизмов M с помощью калибровочной групы. В конце параграфа рассмотрен простейший калибровочно инвариантный лагранжиан.

Пусть E - расслоение со связностью над Mn, n=2k. Пусть G ⊆ End(E) - расслоение, слоем которого является алгебра Ли структурной группы. Тогда кривизна - сечение расслоения G ⊗ Λ2T*Mn. Инварианты 1-го порядка связности получаются из инвариантных относительно присоединенного действия рациональных однородных степени 0 функций на Sn/2G. Рассмотрим n/2-ую степень кривизны в кольце S(G) ⊗ Λ T*Mn. Пусть u/v - такая функция, на Sn/2G:

u(g1,...gn/2) = trρ(g1,...gk)trρ'(gk+1,...gn/2) + ... -

сумма по всем перестановкам индексов, где ρ, ρ' - какие-нибудь представления G; или u = trρ((g1,...gn/2)m) и аналогично для v. Пусть Rn/2 = P ⊗ ω, где P ∈ Γ(Sn/2G), ω ∈ Γ(ΛnT*Mn). Очевидно, такое разложение всегда существует. Тогда инвариант равен u(P)/v(P).

Пусть теперь U - инвариантная относительно присоединенного действия линейная (или даже иррациональная однородная степени 1) функция на Sn/2G. Пусть снова Rn/2 = P ⊗ω. Тогда P ∈ Γ(Sn/2G).

Инварианты 2-го порядка получаются из

DQ× DQ×...× R×...× R ∈ Γ(Sn/2G⊗ΛnT*Mn)

точно так же, как инварианты 1-го порядка получались из Rn/2. Итерируя эту конструкцию, будем получать инварианты всё более высокого порядка.

В случае нечетного n инварианты строятся аналогично, но вместо ΛnT*Mn приходится использовать тривиальную линейную компоненту SnΛ2T*Mn вместо Rn/2 - соответствующую компоненту Rn. (Здесь возведение в степень производится в кольце SG ⊗ SΛ2T*Mn).

Тензорные инварианты 1-го порядка могут быть построены исходя из инвариантных относительно присоединенного действия однородных полиномов на G. Пусть U ∈ (SkG)*, отвечающая такому полиному. Тогда U ⊗ 1(Rk) ∈ SkΛ2T*Mn - тензорный инвариант.

Замечание. В §4 по конформной структуре мы построили расслоение со связностью. Инварианты этой связности являются инвариантами исходной конформной структуры. И аналогично, инварианты расслоения со связностью, построенного в §1 по проективной структуре, являются инвариантами этой проективной структуры.

Особый интерес представляют тензорные инварианты, принадлежащие ΛnT*Mn - калибровочно инвариантные лагранжианы. Все они получаются из какого-нибудь одного умножением его на скалярные инварианты.

Рассмотрим подробнее один такой калибровочно инвариантный лагранжиан. Пусть снова n четно. Пусть G=End(E). Положим S = Rn/2, T = Rn/2-1 (возведение в степень в кольце EndE ⊗ Λ T*Mn). Рассмотрим лагранжиан (trS2)1/2 (возведение в степень в кольце EndE ⊗ SΛnT*Mn, извлечение корня в nT*Mn). Пусть S0 = S/(trS2)1/2 ∈ Γ(EndE). Проварьируем этот лагранжиан.

Предложение 14. Уравнение Эйлера, отвечающее лагранжиану (trS2)1/2, есть T× DS0 = 0.

Доказательство. Пусть ε - бесконечно малая, ε2=0. Рассмотрим произвольную вариацию связности D+εA, A∈ Γ(EndE⊗T*Mn). Вариация кривизны есть R+εDA, вариация лагранжиана

(tr(S2+2εS(T× DA)))1/2 = (trS2)1/2 + εtr(S0(T×DA)).

Уравнение Эйлера - это условие точности n-формы

tr(S0(T×DA)) = d(tr(S0T×A)) - tr(DS0×T× A).

Она точна для всех A тогда и только тогда, когда DS0× T=0, что и требовалось доказать.

Замечание. Если рассматривать связности с алгеброй голономий G ⊆ End(E), то уравнение Эйлера, отвечающее нашему лагранжиану, примет вид (DS0× T) ортогонально G ⊗ TMn.

Литература

1. Ю.И. Манин. Калибровочные поля и комплексная геометрия. М., Наука, 1984

2. В.Н. Пономарев, А.О. Барвинский, Ю.Н. Обухов. Геометро-динамические методы и калибровочный подход к теории гравитационных взаимодействий. М., Энергоатомиздат, 1985

3. S. Kobayashi. Transformation groups in differencial geometry. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-NewYork, 1974

4. C. Le Brun. Ambitwistor and Einstein's equations. "Classical and quant gravitation", 1985, v.2, p.555-563

5. А.З. Петров. Пространства Эйнштейна. Физматгиз, 1961

6. П.К. Рашевский. Риманова геометрия и тензорный анализ. М., Наука, 1964

 

ПОДЕЛИТЬСЯ: