Илья Миклашевский

СТУДЕНЧЕСКИЕ ГОДЫ

Я не учился в математической школе, но посещал кое-какие кружки и т.п., более-менее изучил самиздатскую книжку Н.Н.Константинова "Введение в математический анализ" и несколько книжек из "Библиотеки физико-математической школы". В 73 г. кончил школу, не прошел по конкурсу на мехмат МГУ и пошел в пединститут. Я считал, что знаю уже почти всю математику; а тут увидел, что не знаю почти ничего - у нас на курсе было 9 выпускников 2-й математической школы (в то время в университете абитуриентов сильно фильтровали по национальному и социальному признаку). Я с увлечением стал ликвидировать безграмотность, несколько месяцев это было очень легко, пока я не выучил всё простое.

Через неделю после 1 сентября я подошел к преподавателю анализа, чтобы договориться о досрочной сдаче экзамена; и столкнулся с двумя выпускниками 2-й школы, подошедшими за тем же. Так что сразу появилось законное основание не ходить на часть занятий. А в университете на 15-м этаже стены были увешаны объявлениями спецкурсов и спецсеминаров. Я стал ходить на семинар А.А.Кириллова - самую модную тусовку для младшекурсников. Кажется, он был по субботам; помню, слышал, как после семинара обсуждали, куда бы теперь пойти, предлагались среди прочего церковь и синагога. Впоследствии я заметил, что пристижность семинара можно измерять процентом девушек среди участников (на многих семинарах девушек не было вообще, а вот на Кириллове они составляли почти половину). Запомнились афоризмы Кириллова: "Для тех, кто не знает, напомню" "Это очевидно, если это верно, но я не уверен, что это верно", "Участники семинара выучили много умных слов и могут к месту употреблять их в разговорах со знакомыми; думаю, пора уже выучить что-то одно, но как следует". На первых занятиях речь шла о пэадических числах, но тогда еще я туда не ходил; потом, помню, искали неприводимые представления групп движений правильных многогранников, и я пользовался сделанными мамой елочными игрушками в виде октаэдра, икосаэдра и додекаэдра; рассматривали и линейные группы над конечными полями; от Кириллова я узнал, что такое тензорное произведение; рассказал он классификацию 2-мерных компактных многообразий и упомянул, что она есть в "Алгебре" Ленга ("Это показывает, что не важно, о чем книжка, а важно, что хорошая." - добавил он).

Первыми прочитанными книгами были вероятно "Курс высшей алгебры" Куроша и потом его же "Лекции по общей алгебре" - не лучший выбор. Вскоре знакомый аспирант посоветовал мне "Введение в общую теорию множеств и функций" П.С.Александрова (старая книжка по общей топологии) и "Алгебру" Ленга, но до Ленга я добрался только на 2-м курсе, если не позже. Большой удачей была попавшая мне в руки довольно легкая книжка Халмоша "Конечномерные векторные пространства", где (в отличие от Куроша) предлагался правильный, геометрический взгляд на линейную алгебру. Еще читал я на 1-м курсе "Элементы теории представлений" Кириллова, "Непрерывные группы" Понтрягина, "Теорию функций" Гурвица и Куранта (это две совсем разные книги по ТФКП, соединенные под одной обложкой; я не имел ни малейшего понятия о ТФКП, так что книга оказалась для меня очень полезной; конечно, я ее тогда не дочитал до конца, да возможно, и никогда не дочитал). По дифференциальным уравнениям читал Степанова и позже Арнольда. Наверное, больше всего сил я потратил на 1-2-м курсе на "Основы коммутативной алгебры" Атьи и Макдональда (книжка хороша своей краткостью; изложение основного материала там скучноватое, зато в упражнениях очень живое).

Знакомый второкурсник так подитожил свои и мои тогдашние устремления: надо учить общую алгебру и общую топологию. Вообще, я долго, до аспирантуры, не хотел специализироваться, хотел стать прежде всего культурным математиком. Это имело роковую изнаночную сторону: даже мама раз сказала, что я страдаю верхоглядством. Была и склонность всё стараться обобщить, но ее нельзя целиком признать порочной: любая задача упрощается, если ставить ее в естественной для нее общности; лишние подробности затемняют дело. Задач олимпиадного типа я никогда не любил; все-таки кое-что решал (меньше, чем нужно); например, летом после 3-го или 4-го курса - задачу из польского журнала "Matematyka": на сколько кубиков можно разделить куб?

В институте активно посещал семинар для первокурсников по общей топологии Д.А.Райкова. А во 2-м семестре слушал в университете М.М.Постникова, читавшего алгебраическую топологию (после окончания курса я считал, что даром потратил время - ничего не понял; но осенью перечитал конспект - и всё уложилось настолько, что лет через двадцать пять восстановил его по памяти; к сожалению этот файл я по ошибке стер - едва ли не единственный такой случай в моей жизни; к счастью перед этим я включил его в свой генеральный конспект, где он сохранился, правда, в измененном и дополненном виде).

Еще во 2-м семестре слушал в институте Райкова, читавшего теорию категорий. Первую лекцию он начал словами: "Математика в отличие от других наук может изучать себя сама своими же методами; и делает это не только математическая логика, но и теория категорий" (тогда еще видимо не было подведено под логику альтернативное основание, рассматривающее языки не как подмножества свободных полугрупп, а как категории формул). Райков подробно разбирал пределы, рефлексивные подкатегории, рассматривал, каковы мономорфизмы и эпиморфизмы в разных категориях; но кажется ухитрился не обмолвиться о сопряженных функторах (так что на 2-м курсе со мной до некоторой степени повторилась прошлогодняя история: я считал, что уж теорию категорий знаю досконально - и вдруг понял, что не знаю едва ли не самого главного). После лекции начинался аспирантский семинар по теории категорий и топологическим векторным пространствам, Райков полушутя приглашал желающих остаться на семинар, и однажды весной я остался и потом ходил туда пять лет. Между прочим, там мы как могли подробно изучили только что появившиеся тогда абстрактные топосы (топосы Гротендика появились лет на десять раньше).

На 2-м курсе весь год слушал в университете Манина K-теорию и Шафаревича алгебраические группы. Шафаревич оказался для меня слишком трудным, но мне говорили: его хотят выгнать из университета, скорее всего это последняя возможность его послушать. В предыдущие два года он читал двухгодовой курс по теории Галуа, я не раз слышал о нем от посещавшего его второкурсника и мечтал хоть в будущем году послушать Шафаревича. А вот его книгу "Основы алгебраической геометрии" я довольно упорно читал, начиная со 2-го курса.

Вообще алгебраической геометрией занимался много, но не собирался сделать ее своей специальностью; даже когда В.А.Исковских предложил мне задачу (что-то о комплексных многообразиях), я отказался: слишком сложно; курс Исковских про алгебраические поверхности был очень удачным. "Леккции о K-функторе в алгебраической геометрии" Манина я прочитал с восторгом (даже написал другу-аспиранту длиннющее письмо с доказательством многомерной теоремы Безу, которое я построил на K-теории). Но это всё на 4-м и 5-м курсе.

На 3-м курсе ходил в университет особенно много, до пяти-шести лекций и семинаров в неделю, которые я часто менял, и толку кажется было маловато. Мне очень понравились лекции А.М.Виноградова, где он трактовал многомерный интеграл как когомологии, и я стал ходить на его семинары; тогда же или чуть позже пришел в восторг от статьи Виноградова и Красильщика в "Успехах" "Что такое гамильтонов формализм?" (впоследствии я писал диссертацию, неосознанно подражая этой статье). Виноградов предложил мне задачу (посчитать некие когомологии конуса и других многообразий с особенностями), я взялся, но по безалаберности ничего не сделал.

К институту я привык относиться с полным презрением, и на 3-м курсе выглядел на экзаменах весьма бледно, потому что в это время уже шли вещи довольно серьезные; логику у нас в институте традиционно преподавали в гораздо большем объеме чем в университете (на 4-м курсе была даже теория алгоритмов, но тогда уже я немного скорректировал свое поведение). Очень хилый курс теории вероятностей я не освоил, ликвидировал этот пробел лишь лет восемь спустя. Особенно стыдно было, что я толком не выучил дифференциальную геометрию; на старших курсах занялся ею довольно серьезно: прочитал Стернберга и более удачную книжку Милнора "Теория Морса" (содержащую главу "Краткий курс римановой геометрии"). В результате мне удалось дать бескоординатное описание погружений риманова многообразия в евклидово пространство (которое, по-моему, гораздо проще принятого в учебниках - с многочисленными индексами вверху и внизу).

Манина я посещал, начиная со 2-го курса почти все лекции и семинары на протяжении десяти лет. На 3-м курсе слушал его про уравнения Кортевега-деФриза и т.п. - очень интересно, но непонятно. Да и прошли времена блестящих лекций Манина (говорят, в 60-е годы он читал алгебраическую геометрию в огромной аудитории на первом этаже), теперь он всё больше рассказывал то, что его самого интересовало в данный момент, вещи, как правило, очень сырые. Может быть на 3-м курсе я даже перестал ходить на эти лекции в виду их непонятности. Но потом ходил много; больше всего запомнился миниспецкурс по физике. Манин объяснил, где проходит граница между теоретической физикой и математикой: физические теории всегда противоречивы (типичный пример - атом Бора); конечно, физики всеми силами стараются изгнать противоречия, но когда это удается - это уже перестает быть физикой, а становится математикой.

4-й курс был для меня намного плодотворнее 3-го: я прослушал дифференциальную топологию А.Т.Фоменко, мне так понравилось, что на 5-м прослушал еще раз (на 3-м, помню, раскаивался, что не слушал Фоменко, и волновался, будет ли он читать в следующем году). На 4-м курсе я начал ходить и на семинар Гельфанда (тоже на 3-м хотел, но не решался, и боялся, что в следующем году семинара не будет, потому что Гельфанд умрет; слава Богу, он прожил еще тридцать лет). Между прочим, на одном из первых заседаний, на котором я был (речь шла об уравнении Янга-Милса), Гельфанд сказал: "Кто не знает, что такое связность, тому недоступно процентов тридцать математики". А я не знал. Так что занялся ликвидацией этого пробела (кроме Стернберга прочитал книжку Нумидзу, а Виноградов дал мне из своего архива рукопись Д.В.Алексеевского; в конце концов я построил алгебраическую теорию связности, чем был очень доволен; когда вероятно уже в аспирантуре познакомился с алгебраической теорией связности в векторных расслоениях в изложении Манина, с удивлением увидел, что теории для векторных и для произвольных расслоений абсолютно параллельны).

Семинар Гельфанда всегда проходил на 14-м этаже в довольно большой аудитории, начало официально в 7 часов вечера, но фактически всегда позже (минут на пятнадцать минимум, чаще на полчаса и более). Вероятно, Гельфанд делал это нарочно, чтобы люди, придя на семинар, могли пообщаться; но для меня это было потерянное время. Арнольд приходил в 8, пропуская начало, когда Гельфанд обычно требовал от докладчика объяснять подробнее и затем вызывал к доске студента или чаще студентку и требовал повторить). Гельфанд часто говорил, что его семинар - для студентов, талантливых аспирантов и выдающихся профессоров. Но конечно, к доске он вызывал только тех (не только студентов, но и профессоров), кого хорошо знал лично. Разжевывать для студентов он обычно требовал только в начале заседания, продолжавшегося без перерыва, кажется, часа два или больше. Требуя что-то пояснить, он (кажется, не раз) рассказывал анекдот: лежит пьяный на улице, дергает прохожих за штанины: "Где я?" - ему отвечают: улица такая-то, рядом дом такой-то, там находится то-то - на что он: "К черту подробности! Какой город?". Другая частая шутка Гельфанда примерно в том же смысле: мальчик услышал: "Волны бьются о борт корабля" - и спросил отца, что это значит, а отец начал ему объяснять, что такое аборт - целая лекция полового воспитания. Понимал я, конечно, очень мало. Много было физики. Присутствовало несколько десятков человек; Новиков и Манин курили прямо в аудитории.

Кроме книг, спецкурсов и семинаров (я перечислил, разумеется, не всё; если бы к.п.д. был повыше, я бы стал очень ученым) большое значение имели разговоры с однокурсниками - выпускниками 2-й школы - особенно с Сашей Бейлинсоном. Я имел дурное обыкновение звонить ему и расспрашивать о непонятом на семинаре Гельфанда, да и многое другое, в основном из алгебраической геометрии. Бейлинсон ценил свое время и ходил на институтские занятия крайне редко, но начальство понимало несоответствие его уровня уровню института и до поры до времени терпело; в конце концов не выдержало, стало исключать; мы попросили заступничества Райкова, он заступился; Бейлинсона перевели на заочное отделение, и тогда его родители решили, что надо все-таки перевестись в университет. Он перешел с потерей двух лет (вероятно, с 3-го курса на 1-й). Так что, когда два года спустя на семинаре Гельфанда рассказывали теорему Бейлинсона об эквивалентности производной категории когерентных пучков на проективном пространстве и производной категории градуированных модулей над внешней алгеброй, Гельфанд подчеркивал, что Бейлинсон - студент 3-го курса! Докладывал не Бейлинсон, а вероятно Иосиф Бернштейн, потому что результат был получен одновременно и независимо Бейлинсоном и командой Гельфанда, но формулировка Бейлинсона была более рафинированной категорной (хотя в разговорах со мной он всегда убеждал меня, что теория категорий - вещь крайне малосодержательная; я думаю, дурная репутация теории категорий отчасти связана с тем, что она родилась на несколько десятилетий позже других абстрактных разделов математики; общая топология была вполне построена в первой трети века, но ей продолжали заниматься, и не было обычая ругать ее так, как теорию категорий; впрочем, между ними есть важная разница: результаты общей топологии середины века не были применимы за ее пределами, зато могли быть очень нетривиальны, а с теорией категорий дело обстояло как раз наоборот).

Мой первый самостоятельный результат: полное линейно упорядоченное множество компактно (возможно, это еще на 1-м курсе); я понимал, что результат тривиален и не придал ему значения. А вот на 3-м курсе знакомый аспирант рассказал мне теорему Брауна о представимости функтора на категории гомотопических типов клеточных разбиений; я (неверно) решил, что условие этой теоремы означает перестановочность с пределами, и стал пытаться доказать общекатегорную теорему. Мне это удалось. Но я боялся пытаться публиковать, потому что понимал: результат этот может быть известен науке. Мне посоветовали посмотреть SGA4 Гротендика, и я нашел там в точности свою теорему (правда, к тому времени мне удалось ее немного обобщить). На 4-м курсе я исследовал вопрос о вполнеунивалентности вложения категории в категорию предпучков на подкатегории. Мне одно время казалось, что я доказал собственную теорему, хотя по существу мне ее до того рассказывал Бейлинсон. Там всё же были у меня кое-какие новации (через несколько лет кое-что было даже опубликовано в тезисах конференции по теории групп - "Категорные аспекты теории Галуа"). Год спустя я попытался написать диплом "Топосы и предпучки" из моих результатов 3-го и 4-го курса, но не довел до конца (диплом у нас был не обязателен, большинство вместо этого сдавали госэкзамены).

Я не хотел идти в аспирантуру, хотел преподавать, а в аспирантуру - когда появятся идеи, подлежащие разработке. Меня обещали взять преподавателем в один провинциальный педвуз, если будет рекомендация научного руководителя; я попросил Райкова, но он рекомендовал меня в очную аспирантуру, и я не посмел возражать. Сказал только, что не хочу больше заниматься теорией категорий, а хочу дифференциальной алгеброй. Райков согласился, но предупредил, что тогда реально руководить мной не сможет.

Последнее изменение страницы 27 Sep 2021 

ПОДЕЛИТЬСЯ: